师：同学们好，欢迎大家走进今天的数学课堂。本节课我们将共同学习第十八章第二节菱形的第二课时。上节课，我们认识了平行四边形家族的新成员——菱形。首先，老师想邀请大家一起回顾一下菱形的相关知识。
菱形的定义是：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。作为特殊的平行四边形，菱形具备平行四边形的所有性质，并且还有以下特殊性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它的对角线所在直线就是对称轴；菱形的面积等于对角线乘积的一半。
学习了这些内容后，接下来我们该研究什么问题呢？不妨回顾一下本章的学习思路。在本章中，我们采用由一般到特殊的方式，分别学习了平行四边形、矩形和菱形。对于每一个具体图形，比如矩形，我们学习了它的定义、性质和判定方法。大家知道，矩形的性质与判定互为逆定理。所以，按照相同的研究方式，接下来我们要深入学习菱形的判定。
怎么判断一个平行四边形是菱形呢？我们知道，定义既是性质也是判定，所以可以很快得到菱形的判定方法一，即菱形的定义。大家一起说说它的文字内容：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。用几何语言叙述就是：因为四边形 ABCD 为平行四边形，且 AB = AD，所以平行四边形 ABCD 是菱形。利用定义判定菱形时，判断对象首先得是一个平行四边形，在此基础上，只要有任意一组邻边相等，就可判断这个平行四边形是菱形。
接下来，老师想请大家思考，在平行四边形的基础上，除了增加一组邻边相等的条件，还有什么其他方式可以判断一个平行四边形是菱形呢？带着这个问题，我们回顾一下菱形的性质。菱形的特殊性不仅体现在边上，还体现在对角线上，菱形的对角线互相垂直。因此，我们大胆猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
为了证明这个命题，我们根据图形写出已知和求证。已知：如图，平行四边形 ABCD 中，AC⊥BD。求证：平行四边形 ABCD 是菱形。要证明一个平行四边形是菱形，就需要说明这个平行四边形有两条相等的邻边。根据本题条件，平行四边形的对角线互相平分，又因为对角线互相垂直，所以大家想想，应该用哪个知识点来完成证明呢？相信大家想到了，我们可以借助线段垂直平分线的性质来证明。
下面我们一起完成这个猜想的论证。因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 OB = OD。又因为 AC⊥BD，所以 AC 垂直平分线段 BD。由垂直平分线的性质可知 AB = AD。这样，我们就可以利用“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，判定本题中的平行四边形 ABCD 是菱形。由此，我们得到了菱形的判定方法二：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。结合图形，它的几何语言是：因为四边形 ABCD 为平行四边形，且 AC⊥BD，所以平行四边形 ABCD 是菱形。用这个判定方法时，判断对象首先是平行四边形，在此基础上加上对角线互相垂直的条件，就能判断这个平行四边形是菱形。
好，现在我们有两种判定方法了。接下来，大家一起分析例一。如图，平行四边形的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，且 AB = 5，AO = 4，BO = 3，求平行四边形 ABCD 的面积。通常，我们用底乘高来求平行四边形的面积，但对于本题，大家想想这个平行四边形有没有特殊性呢？怎样求面积最简洁呢？我们看题干条件，AB = 5，AO = 4，BO = 3，不难算出 AO2 + BO2 = AB2。结合上一章学的勾股定理的逆定理，可以判断△AOB 是直角三角形，∠AOB = 90°。由此发现这个平行四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 互相垂直。根据判定方法二，可知这个平行四边形实际上是一个菱形。联系上节课学的菱形面积求解方法，我们可以用对角线乘积的一半来计算这个菱形的面积。算出 AO 和 BO 的长度，代入公式，最后得到这个平行四边形的面积是 24。
老师再出个难题考考大家。如果给大家一个普通四边形，在四边形的条件上加上什么条件，可以判断它是一个菱形呢？为了解决这个问题，我们还是要回归到菱形的性质。同学们知道菱形的四条边都相等，那我们猜想一下，有几条边相等的四边形是菱形呢？一个四边形中有两条边相等，是不是菱形呢？相信同学们能很快画出很多反例。那三条边相等的四边形是不是菱形呢？看右边这个图，EF、EH 和 HG 长度相等，但它也不是菱形。所以我们猜想：四条边相等的四边形是菱形。同样，为了验证这个猜想，需要严谨证明。
我们根据图形写出已知和求证。已知：如图，四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = DA。求证：四边形 ABCD 是菱形。现在我们有两种判定菱形的方法，选哪一种更合适呢？由四条边都相等，可知这个四边形中两组对边 AB 与 CD 相等，AD 与 BC 相等。根据平行四边形的判定方法，首先可以知道这个四边形是平行四边形。接着又因为 AB = BC，这个平行四边形的一组邻边相等，从而可以利用菱形的定义，判定本题中的平行四边形 ABCD 是菱形。这样，我们就完成了这个猜想的证明，得到了菱形的判定方法三：四条边相等的四边形是菱形。结合图形，几何语言为：因为 AB = BC = CD = DA，所以四边形 ABCD 是菱形。这个判定方法和前两个有什么不同呢？我们发现，这个判定方法的判断对象首先是一个四边形，在四边形的条件上，让四条边相等，就可得到这个四边形是菱形。所以判定方法 3 的判定对象与前两个判定方法不同，请大家特别关注。
好，学习了这些内容后，老师邀请大家一起分析例 2。如图，矩形 ABCD 中，AB = 4，BC = 2，点 E 和点 F 分别在 AB、CD 上，且 BE = DF = 3/2。求证四边形 AECF 是菱形，并求线段 EF 的长度。同学们先思考一下。