师：同学们，大家好。今天我们一起来学习初中数学人民教育出版社八年级下册第20章数据的分析，第二节数据的波动程度第三课时。首先，来看学习目标。一、深化对方差的认识，在实际问题中感受抽样的必要性，会用样本方差估计总体方差。二、能在实际问题中用样本方差估计总体方差，体会用样本估计总体的思想，这也是本节课的重点。当实际问题中总体数量太大，难以全部计算，或考察本身有破坏性时，会选取样本方差来估计总体方差。通过用数学解决生活中的问题，不仅能使学生对学习数学产生浓厚的兴趣，还能培养学生应用数学的意识。
本节课我们将围绕这四个目标进行探究。下面，请同学们回顾一下，什么是方差？方差有哪些特性？
生：方差公式为(S^{2}=\frac{(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+\cdots +(x_{n}-\overline{x})^{2}}{n}) ，方差越大，数据的波动性越大；方差越小，数据的波动性越小。
师：那什么情况下用方差来比较两组数据的波动大小呢？
生：当两组数据的个数相同，且两组数据的平均数相等或相近时，才能采用方差来比较它们的波动大小。理论上样本容量相同，也就是数据的个数相同才可以比较，但这也不是绝对的。随着以后进一步深入学习，当样本容量呈泊松分布和正态分布时，无论其样本容量是多少，都不影响它们的方差。不过初中阶段只研究样本容量相同时的方差。
师：为什么只有当两组数据的平均数相等或比较接近时，才能用方差比较它们的波动大小呢？举个例子，比如两个人，一个人几次考试平均分是90，方差是0.5；另一个人几次考试的平均分是60，方差是0.1 。是不是第二个人的成绩波动性小？但是如果选择其中一个人去比赛，能选方差小，也就是成绩稳定在60的那个吗？不行，因为在这个例子里，方差小的平均分太小，此时用方差小波动性小来选人参加比赛毫无意义。所以要在两人平均成绩相等或相近时，看看谁的方差小，波动小，更稳定才有意义。
下面，请同学们通过一个题目来巩固一下方差公式。数据1、2、3、 - 1、0的方差是多少？
生：首先用平均数公式算出平均数(\overline{x}=\frac{1 + 2 + 3 - 1 + 0}{5}=1) 。然后用方差公式列式(S^{2}=\frac{(1 - 1)^{2}+(2 - 1)^{2}+(3 - 1)^{2}+(-1 - 1)^{2}+(0 - 1)^{2}}{5}=2) 。
师：好，下面我们一起来学习用样本方差来估计总体方差。请看例题。某快餐公司的香辣鸡腿堡很受消费者欢迎，现有甲乙两家农副产品加工厂到快餐公司推销鸡腿。两家鸡腿价格相同，品质相近，快餐公司决定通过检查鸡腿的质量来确定选购哪家的鸡腿。检查人员从两家的鸡腿中各随机抽取15个，记录它们的质量，如表20 - 10所示。
根据表中数据，你认为快餐公司应该选购哪家加工厂的鸡腿？大家一起来思考一下。问题一，题目中选购的标准是什么？
生：由题意可知，快餐公司通过检查鸡腿质量来确定选购对象。消费者买鸡腿是论个数，不是论质量，所以卖给消费者的香辣鸡腿质量应相同或相近。我们可以先算出两家鸡腿质量的平均数，在平均数相等或相近时，再通过方差比较稳定性。方差小说明鸡腿质量波动小，质量均匀；方差大说明鸡腿波动大，质量不均匀，大小不一。所以应选择方差小的工厂的鸡腿。
师：问题二，是不是要把两家工厂所有鸡腿都拿来计算平均数和方差呢？
生：因为两家工厂鸡腿总体数量太大，不方便计算总体平均数和方差，所以可以采用抽样调查，用样本的平均数和方差来估计总体的平均数和方差，从而解决实际问题。题目中表格里的数据就是从两家的鸡腿中各自随机抽取的15个，这样的样本具有代表性，符合样本估计总体的要求。
师：问题三，什么样的调查叫抽样调查？什么情况下采用抽样调查呢？
生：当研究一个对象时，如果能得到全部数据，就可以直接从中分析总体的各种信息，这种调查叫全面调查。但在实际问题中，当总体的信息很多往往不能全面得到，或调查本身具有破坏性时，就需要从总体中随机抽取一部分样本作为代表，用样本的各种信息来估计总体的情况，这种调查叫抽样调查。从定义可知，在总体的信息很多不能全面得到，或者调查本身具有破坏性时，一般使用抽样调查。本题就属于总体的信息很多不能全面得到，所以检查人员从两家的鸡腿中各随机抽取15个，属于用样本随机抽样调查，用抽样调查的信息来考察鸡腿质量，从而选取鸡腿质量均匀的加工厂的鸡腿。
师：下面请同学们先计算出两家工厂样本数据的平均数。
生：通过计算，甲工厂鸡腿质量样本的平均数(\overline{x}{甲}=\frac{74 + 75 +\cdots + 73}{15}\approx75)克。乙工厂鸡腿质量样本的平均数(\overline{x}{乙}=\frac{75 + 73 + 79 +\cdots + 75}{15}\approx75)克。
师：接下来还需要计算鸡腿质量样本的方差。
生：通过计算，甲工厂鸡腿质量样本数据的方差(S_{甲}^{2}=\frac{(74 - 75)^{2}+(74 - 75)^{2}+\cdots +(73 - 75)^{2}}{15}\approx3) 。乙工厂鸡腿样本数据的方差(S_{乙}^{2}=\frac{(75 - 75)^{2}+(73 - 75)^{2}+\cdots +(75 - 75)^{2}}{15}\approx8) 。由(\overline{x}{甲}\approx\overline{x}{乙})可知，两家加工厂的鸡腿质量大致相等。由(S_{甲}^{2}< S_{乙}^{2})可知，甲加工厂鸡腿质量更稳定，大小更均匀。所以快餐公司应该选购甲加工厂生产的鸡腿。
师：请同学们通过本题思考一下。问题一，什么情况下用样本方差来估计总体的方差？
生：当实际问题中总体数量太大，不能全部得到，或考察本身具有破坏性时，会选取用样本方差来估计总体方差。本题属于在实际问题中总体数量太大，不能全部得到，所以采用随机抽样调查，用选取的样本方差来估计总体的方差。
师：问题二，利用样本的方差来估计总体的方差的一般步骤有哪些？
生：第一步，求样本的平均数；第二步，求样本的方差；第三步，根据样本方差来估计总体的方差，分析数据；第四步，得出实际问题的结论。
师：问题三，同学们在日常生活中遇到过哪些问题，需要利用样本的方差来估算总体的方差来解决呢？
生：学校为准备县运动会，选谁参加项目能发挥较好成绩。体育老师一般从校运动会成绩较好的运动员中选取部分作为预备队员参加集训，然后抽取集训成绩。若运动员成绩难取舍，就可以用样本的方差估算总体的方差，选择成绩稳定的运动员参加县运动会。
师：好，下面请同学们做个选运动员参赛的题目。某跳远队准备从甲、乙两名运动员中选取成绩稳定的一名参加比赛。下表是两名运动员10次测验成绩，你认为应该选择哪名运动员参赛？为什么？大家思考一下，问题一，你将根据什么标准来选择运动员参赛？
生：题目要求选取成绩稳定的运动员参赛，所以要算出甲、乙两名运动员10次测验成绩的平均数，再算出方差。当平均数相等或相近时，方差小说明成绩波动小，成绩更稳定。所以要选择方差小的运动员参赛。
师：问题二，本题是不是用样本的方差来估计总体的方差呢？
生：是的，因为运动员成绩很多，表格中的成绩属于抽取的部分成绩，所以本题属于用样本的方差来估计总体的方差。
师：下面请同学们计算出两名运动员样本数据的平均数和方差。
生：通过计算，甲运动员的平均数(\overline{x}{甲}=\frac{5.85 + 5.93 + 6.07+\cdots + 6.19}{10}=6.01)米，乙运动员的平均数(\overline{x}{乙}=\frac{6.11 + 6.08 + 5.83+\cdots + 6.21}{10}=6)米。甲运动员的平均数为6.01米，这说明两名运动员10次测验成绩相差不大，由此可估计甲、乙两名运动员整体成绩相差不大。甲运动员的方差(S_{甲}^{2}=\frac{(5.85 - 6.01)^{2}+(5.93 - 6.01)^{2}+\cdots +(6.19 - 6.01)^{2}}{10}\approx0.01) ，乙运动员的方差(S_{乙}^{2}=\frac{(6.1 - 6)^{2}+(6.08 - 6)^{2}+\cdots +(6.21 - 6)^{2}}{10}\approx0.02) 。由(\overline{x}{甲}=6.01) ，(\overline{x}{乙}=6)可知，甲、乙两名运动员10次成绩相差不大。由(S_{甲}^{2}< S_{乙}^{2})可知，两名运动员10次测验成绩中，甲运动员较稳定。由样本的方差来估计总体的方差，可知甲运动员成绩波动小，成绩更稳定，所以选择甲运动员参赛。
师：请同学们对本题总结一下。问题一，本题属于什么情况下用样本的方差来估计总体的方差？
生：因为运动员平时成绩太多，所以本题仍是属于实际问题中总体数量太大，不能全部得到，从而采用随机抽样调查，用选取样本的方差来估计总体的方差。要体会样本估计总体的思想。
师：问题二，本题利用样本的方差来估计总体的方差的步骤有哪些？
生：第一步，求样本的平均数；第二步，求样本的方差；第三步，根据样本的方差来估计总体的方差，分析数据；第四步，得出实际问题的结论。
师：问题三，我们刚刚学习的例题和练习都属于总体信息很多不能全部得到，而使用抽样调查。那么同学们在日常生活中有没有遇到过，因为调查本身具有破坏性，需要使用抽样调查，然后用样本的方差来估算总体的方差来解决实际问题呢？
生：有，比如要调查某两个工厂同种型号的节能灯的使用寿命，如果将两个工厂这种型号的节能灯全部通电直到自然毁坏，即使知道结果也毫无意义，所以要利用样本估计总体来解决问题。还有调查某一批导弹的威力，如果将这批导弹全部发射出去，即使知道了威力，导弹也不复存在了，所以要利用样本估计总体来解决问题。以及调查某批次汽车的抗撞能力，如果将这批次汽车全部拖出去做撞击实验，即使知道抗撞能力强也毫无价值，这也要利用样本估计总体来解决问题。如果要调查两种小麦的长势情况，不可能测出所有小麦苗高，更不可能将所有麦穗割下来化验麦穗灌浆情况，同样要利用样本估计总体来解决问题。
师：好，下面请同学们来完成考察甲、乙两种小麦长势的问题。为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中随机抽取10株麦苗，测得苗高已知。1、分别计算两种小麦的平均苗高，哪种小麦的长势比较整齐。请同学们计算出从甲、乙两种小麦中随机抽取的10株麦苗的平均数和方差，再以小组为单位交流怎样选取，然后请同学代表回答。
生：通过计算，甲种小麦的平均数(\overline{x}{甲}=\frac{12 + 13 + 14+\cdots + 11}{10}=13)厘米，乙种小麦的平均数(\overline{x}{乙}=\frac{11 + 16 + 17+\cdots + 16}{10}=13)厘米。由(\overline{x}{甲}=\overline{x}{乙}=13)可知，从甲、乙两种小麦中随机抽取的10株麦苗平均苗高相等，由此估计甲、乙两种小麦的平均长势相同。又算出甲种小麦的方差(S_{甲}^{2}=\frac{(12 - 13)^{2}+(13 - 13)^{2}+\cdots +(11 - 13)^{2}}{10}=3.6) ，乙种小麦的方差(S_{乙}^{2}=\frac{(11 - 13)^{2}+(16 - 13)^{2}+\cdots +(16 - 13)^{2}}{10}=15.8) 。从(S_{甲}^{2}=3.6) ，(S_{乙}^{2}=15.8) ，得到(S_{甲}^{2}< S_{乙}^{2}) ，说明从甲、乙两种小麦中各随机抽取的10株麦苗中，甲种小麦苗高比较整齐，由此估计甲种小麦苗高比较整齐。
师：本题也是一道典型的用样本方差估计总体方差的题目，请同学们认真体会用样本估计总体的思想。好，我们今天的新课就学到这里。下面请同学们回忆一下今天学习了哪些内容？
生：今天学习了用样本方差来估计总体的方差。当总体信息很多往往不能全部得到，或者调查本身具有破坏性时，需要从总体中随机抽取一部分作为代表，用样本的方差来估计总体的方差，从而分析事物的具体情况。方差是反映数据的波动大小，方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。
师：运用样本方差解决实际问题的一般步骤是怎样的？
生：第一步，求样本的平均数；第二步，求样本的方差；第三步，根据样本方差来估计总体的方差，分析数据；第四步，得出实际问题的结论。
师：好，今天的课后作业详见作业练习。今天的课就学到这里，同学们再见。