师：同学们，大家好。上节课我们学习了勾股定理及其逆定理，本节课我们继续深入探讨。首先，请同学们回顾一下勾股定理和逆定理。勾股定理的逆定理是：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。其符号语言为：在三角形ABC中，若(a^2 + b^2 = c^2)，则(\angle C = 90^{\circ})。勾股定理及其逆定理是判定直角三角形的一种方法，它通过三边的数量关系来判定直角三角形。接下来，请同学们判断由线段(a)、(b)、(c)组成的三角形是不是直角三角形。如果是，请说出三角形的斜边。
第一组，(a = 2)，(b = 3)，(c = 4)。
生：不是直角三角形。因为(a^2 = 4)，(b^2 = 9)，(c^2 = 16)，(a^2 + b^2 \neq c^2)，所以不是直角三角形。
第二组，(a = \sqrt{3})，(b = 2)，(c = \sqrt{5})。
生：不是直角三角形。因为(a^2 = 3)，(b^2 = 4)，(c^2 = 5)，(a^2 + b^2 \neq c^2)，所以不是直角三角形。
第三组，(a = 25)，(b = 7)，(c = 24)。
生：是直角三角形。因为(a^2 = 625)，(b^2 = 49)，(c^2 = 576)，(b^2 + c^2 = a^2)，所以这是一个直角三角形，它的斜边为(a)。
师：同学们注意，(a^2 + b^2 = c^2)只是一种表现形式，三边满足(b^2 + c^2 = a^2)或(a^2 + c^2 = b^2)，也都是直角三角形。所以我们可以总结：若较小两边的平方和等于最大边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。
第四组，(a:b:c = 5:12:13)。
生：是直角三角形。因为可设(a = 5x)，(b = 12x)，(c = 13x)，((5x)^2 + (12x)^2 = (13x)^2)，即(a^2 + b^2 = c^2)，所以是直角三角形，它的斜边是(c)。
师：像(7)、(24)、(25)这样能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，我们把它称为勾股数。同学们，你还能说出一些勾股数吗？
生：(3)、(4)、(5)；(5)、(12)、(13)；(6)、(8)、(10)；(8)、(15)、(17)；(24)、(45)、(51)；(9)、(40)、(41)；(16)、(63)、(65)等等。
师：请同学们拿出笔，把这些勾股数记下来。记住一些简单常用的勾股数，可以简化我们的计算。如果三边用字母表示，你也能根据勾股定理的逆定理来判定直角三角形吗？例如，已知三角形(ABC)中三条边长分别为(a = n^2 - 1)，(b = 2n)，(c = n^2 + 1)，(n > 1)。求证三角形(ABC)为直角三角形。勾股定理的逆定理是根据三边的数量关系来判定直角三角形，即较小两边的平方和等于最大边的平方。所以我们首先要判断出最大边，你能找出(a)、(b)、(c)中的最大边吗？
生：我们可以很容易判断出(n^2 + 1 > n^2 - 1)。当(n > 1)时，(n^2 + 1 > 2n)，所以(c)为最大边。
师：非常好，那接下来证明较小两边的平方和(a^2 + b^2)。
生：(a^2 + b^2 = (n^2 - 1)^2 + (2n)^2 = n^4 - 2n^2 + 1 + 4n^2 = n^4 + 2n^2 + 1 = (n^2 + 1)^2 = c^2)，所以三角形(ABC)为直角三角形。
师：很好。例2，如图，正方形网格中小正方形的边长为(1)，(A)、(B)、(C)分别为格点。（1）判断三角形(ABC)的形状并说明理由。
生1：我用角来证。(AC)、(BC)分别在两个直角三角形中，设为三角形(ADC)和三角形(CEB)，(\angle ACD)、(\angle CAD)、(\angle BCE)分别标为(\angle 1)、(\angle 2)、(\angle 3)。在三角形(ADC)和三角形(CEB)中，(AD = CE)，(\angle D = \angle E)，(DC = BE)，所以三角形(ADC \cong)三角形(CEB(SAS))。所以(AC = BC)，(\angle 2 = \angle 3)，所以三角形(ABC)为等腰三角形。又因为(\angle 1 + \angle 3 = \angle 1 + \angle 2 = 90^{\circ})，所以(\angle ACB = 90^{\circ})，所以三角形(ABC)为等腰直角三角形。
生2：我选用边的方法来证明。首先由图可以看出(AC)、(BC)、(AB)分别为三个直角三角形的斜边。所以根据勾股定理可以求出(AC = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13})，(BC = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13})，(AB = \sqrt{5^2 + 1^2} = \sqrt{26})。因为(AC^2 + BC^2 = (\sqrt{13})^2 + (\sqrt{13})^2 = 26)，(AB^2 = 26)，所以(AC^2 + BC^2 = AB^2)。根据勾股定理的逆定理可以得出三角形(ABC)为直角三角形。又因为(AC = BC)，所以三角形(ABC)为等腰直角三角形。
师：非常好，那(\angle ABC)等于多少度呢？
生：(\angle ABC = 45^{\circ})。
师：（2）求(AB)边上的高，要求(AB)边上的高，请问求的是哪条线段的长呢？
生：过点(C)作(CF \perp AB)于(F)点，求的就是(CF)的长。
师：高与面积联系密切，你可以求出直角三角形(ABC)的面积吗？
生：有两种表示方法。一是直角边乘以直角边除以(2)，即(\frac{1}{2}AC \times BC = \frac{1}{2} \times \sqrt{13} \times \sqrt{13} = \frac{13}{2})；二是斜边乘以斜边上的高除以(2)，即(\frac{1}{2}AB \times CF = \frac{1}{2} \times \sqrt{26} \times CF)。联立等式(\frac{1}{2} \times \sqrt{26} \times CF = \frac{13}{2})，计算化简可得(CF = \frac{\sqrt{26}}{2})。
师：从例1、例2中我们发现判定直角三角形有两种方法，一是用角证，二是用边证。选用角证还是边证，我们需要根据题目条件。例3，如图，已知三角形(ABC)中(AB = 2\sqrt{3})，(AC = 2)，高(AD = \sqrt{3})。证明(\angle BAC = 90^{\circ})，求证(\angle BAC = 90^{\circ})，就是要证明三角形(ABC)为直角三角形，你会选用哪种方法呢？
生：我们选用边的证法。在三角形(ABC)中，(AC = 2)，(AB = 2\sqrt{3})，(BC)等于多少呢？因为(AD)是三角形(ABC)的高，所以三角形(ADC)和三角形(ADB)是直角三角形。根据勾股定理可以求出(DC = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{2^2 - (\sqrt{3})^2} = 1)，(BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2} = 3)，所以(BC = BD + DC = 4)。又因为(AC^2 + AB^2 = 2^2 + (2\sqrt{3})^2 = 16)，(BC^2 = 4^2 = 16)，所以(AC^2 + AB^2 = BC^2)。根据勾股定理的逆定理可得三角形(ABC)是直角三角形。又因为直角三角形中最大边是斜边，斜边所对的角为直角，所以(\angle BAC = 90^{\circ})。
师：例4，如图，四边形(ABCD)中(\angle ABC = 90^{\circ})，(AB = 4)，(BC = 4)，(DC = 6)，(AD = 2)，求四边形(ABCD)的面积和(\angle DAB)。四边形(ABCD)是一个不规则图形，如何求一个不规则图形的面积呢？