师：同学们，大家好，欢迎走进今天的数学课堂。人们常说，生活中不是缺少美，而是缺少发现美的眼睛。老师邀请大家带着发现与思考的眼光，共同欣赏几幅图片。图一是一棵五彩斑斓的小树，叫勾股树；图二想必大家很熟悉，它是2002年国际数学家大会的会徽；图三是国际数学教育大会的会徽。这三幅图片中分别蕴含着怎样的数学知识呢？相信聪明的你们已经发现，它们都与勾股定理有关。勾股定理反映了自然界的基本原理，是人类最伟大的十个科学发现之一。我国有关勾股定理的记录最早见于西汉时期的《周髀算经》。古代东西方数学的两个代表性著作《九章算术》与《几何原本》，也对勾股定理进行了详细记载。
勾股定理与实际生活联系紧密，古往今来，许多人对勾股定理的证明倾注了极大热情。本节课，我们将从数学文化与思想方法两个方面继续学习勾股定理。首先，分析几种勾股定理的证明方法。
赵爽弦图，又称勾股圆方图，是古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时提出的。大家已知道，可从整体与局部两个方向分别计算大正方形的面积，建立等式并化简，就能得到(a2 + b2 = c2)。其实，赵爽弦图还有另一种构图方式。看右侧图形，大正方形的面积可表示为((a + b)2)，同时它也可表示为四个直角三角形与一个小正方形的面积和。在这两个式子之间建立等量关系并化简，同样能得到勾股定理的结论。这种证明方法结合数与形，简洁又精彩，体现了我国古代数学家的智慧。
接着看第二种方法，是美国第20任总统加菲尔德提出的。他利用两个全等的直角三角形与一个等腰直角三角形拼成大的直角梯形。同样从整体与局部两个方面计算大直角梯形的面积，对得到的等式化简，也能得到(a2 + b2 = c2)。这种证法与赵爽弦图法有异曲同工之妙，也结合了数与形。
再看下一种证法。勾股定理在西方又被称为毕达哥拉斯定理，人们普遍认为是毕达哥拉斯学派最早发现了勾股定理，为此还宰杀了100头牛庆祝，所以勾股定理又被称为百牛定理。传说毕达哥拉斯用下面两个图形论证了勾股定理。他画出两个边长都是(a + b)的正方形，将第一个正方形中的4个小直角三角形移动拼到第二个图形中。观察这两个图，同学们有什么发现？左图空白部分面积是(a2 + b2)，右图空白部分面积是(c2)。因为两个大正方形面积相等，小三角形面积也相等，所以可得(a2 + b2 = c2)，这就是第三种证明方式。
接下来看古代数学家刘徽的证明方法。刘徽是魏晋时期著名的数学家，为中国古代数学发展做出了卓越贡献。他成果丰富，在勾股定理方面，论证了勾股定理内容，建立了相似勾股型的理论，并发展了勾股测量术。刘徽是如何证明勾股定理的呢？在他为《九章算术》所作的注解中，记录了这样一段文字，同学们可以结合图形分析一下这段古文的含义。
好，下面一起来看。文字中“朱方”即小正方形的面积为(a2)，“青方”即大正方形的面积。“出入相补”就是巧妙地移动其中部分图形。通过操作，得到一个边长为(c)的大正方形。根据图形面积不变的原理，得到(a2 + b2 = c2)。这种证明方法非常巧妙，且没有使用任何文字，所以称这种证明方式为“无字证明”，体现了我国古代数学家的智慧。
有关勾股定理的证明，还有其他一些方法，包括欧几里得在《几何原本》中提出的证法、著名画家达芬奇的证明方法以及用五巧板进行拼图的方式等等。这些证明方法都很巧妙，希望同学们课后自行探索。
勾股定理是人类智慧的结晶，具有以下文化价值：一是勾股定理的证明是论证几何的开端；二是勾股定理是第一个把数与形联系起来的定理；三是勾股定理导致了无理数的发现，引发了第一次数学危机；四是勾股定理是历史上第一个给出完全解答的不定方程，从而引出了费马大定理。我们感叹前人智慧伟大的同时，也要激励自己认真学习，争取今后为数学发展做出更大贡献。下面结合一道具体问题，感受一下勾股定理的文化价值。
如图1是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，它由四个全等的直角三角形围成。若(AC = 6)，(BC = 5)，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的数学风车，这个风车的外围周长是多少呢？为方便说明，在图示中标出一些点。通过观察发现，数学风车可看成由4个长度相等的部分构成。只要求出(BD)与(AD)的和再乘以4，就可得到风车的外围周长。根据题意，(AC = 6)，(AD = 6)，所以(CD = 12)，又(BC = 5)。在直角三角形(BCD)中，根据勾股定理可算出(BD)的线段长。由此可求出(BD)与(AD)的和，乘以4就得到风车的周长。相信大家都得到了同样的结果。
接下来通过一些具体问题的分析，梳理一下本章中用勾股定理进行计算和证明时常用的数学思想。
先看例1，直角三角形的两边长为5和12，则第三边长为多少？有同学可能很快说等于13，是这样吗？细心的同学会发现，本题没直接说明哪条边是直角三角形的斜边，所以要对谁是斜边进行分类讨论。当第三边为斜边时，根据勾股定理，可算出第三边长等于13；若第三条边不是斜边，这里只有12能作为直角三角形的斜边。所以根据计算，可得第三边长为(\sqrt{119})。这样，本题答案就是13或(\sqrt{119})。通过本题分析可知，若直角三角形中斜边、直角边不明确，需对三角形的边进行分类讨论。
再看例2，在三角形(ABC)中，(AB = 15)，(AC = 13)，且(BC)边上的高(AD = 12)，那么三角形(ABC)的面积等于多少呢？同学们可以拿出稿纸先行画图分析。
好，相信很多同学画出了这样一个图形。根据条件，由(AB = 15)，(AD = 12)，可计算直角三角形(ABD)中(BD)线段的长度。同理，结合(AC)和(AD)的长度可计算线段(CD)的长度。这样就能得到底边(BC)的长，利用三角形面积公式(S = \frac{1}{2}×底×高)，不难算出三角形(ABC)面积等于84。