师：各位同学，大家好。最近我们学习了勾股定理这一章的内容，今天这节课我们对勾股定理这一章进行小结。首先，来看本章的知识框架图。勾股定理这一章分为两小节：勾股定理和勾股定理的逆定理。在勾股定理部分，我们学习了勾股定理的证明与应用；在勾股定理的逆定理部分，我们学习了互逆命题与互逆定理、勾股数、勾股定理的逆定理以及勾股定理与秦九韶定理的联系和区别。本节课我们先回顾第一小节的内容。
知识点一，勾股定理的内容是：如果直角三角形的两条直角边长分别是(a)、(b)，斜边为(c)，那么(a^{2} + b^{2} = c^{2})。勾股定理是研究直角三角形的定理，它揭示的是直角三角形两条直角边与斜边的数量关系。其变式有：(b^{2} = c^{2} - a^{2})，(a = \sqrt{c^{2} - b^{2}})，(b = \sqrt{c^{2} - a^{2}})，(c = \sqrt{a^{2} + b^{2}})。
接下来看一道例题，如图，在(Rt\triangle ABC)中，三边长分别为(a)、(b)、(c)。已知(a = 1)，(b = 3)，(\angle B = 90^{\circ})，求(c)的值。通过读题和观察图形，我们发现所求的(c)边是这个三角形的另一条直角边。所以在(Rt\triangle ABC)中，由勾股定理可得(c = \sqrt{b^{2} - a^{2}} = \sqrt{3^{2} - 1^{2}} = 2\sqrt{2})。书写时要注意，一定要表明在直角三角形中才能使用勾股定理。
变式一，在(Rt\triangle ABC)中，已知(BC = 1)，(AC = 3)，求(AB)的值。本题没给出图形，我们要自己动手画图。
可能有的同学画出这样的直角三角形，在这种情况下，(AB)是直角边，那么在(Rt\triangle ABC)中，由勾股定理可得(AB = \sqrt{AC^{2} - BC^{2}} = \sqrt{3^{2} - 1^{2}} = 2\sqrt{2})。也可能有的同学画的是另一种直角三角形，此时所求的(AB)是斜边，在(Rt\triangle ABC)中，由勾股定理可得(AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}} = \sqrt{3^{2} + 1^{2}} = \sqrt{10})。所以这道题有两种答案，(2\sqrt{2})或(\sqrt{10})，大家做对了吗？
再看变式二，在(\triangle ABC)中，(AB = 10)，(AC = 2\sqrt{10})，(BC)边上的高(AD = 6)，则另一边(BC)等于多少？A. (10) B. (8) C. (6)或(10) D. (8)或(10)。本题同样没给图形，我们自己画图。
先画出(\triangle ABC)是锐角三角形的情况，此时(AD)这条高在三角形内部。在(Rt\triangle ADB)中，由勾股定理可得(BD = \sqrt{AB^{2} - AD^{2}} = \sqrt{10^{2} - 6^{2}} = 8)。在(Rt\triangle ADC)中，由勾股定理可得(CD = \sqrt{AC^{2} - AD^{2}} = \sqrt{(2\sqrt{10})^{2} - 6^{2}} = 2)。此时(BC = BD + CD = 8 + 2 = 10)。
有同学可能会想，本题还有其他情况吗？对，还有一种情况，如果(\triangle ABC)是钝角三角形，那么高(AD)在三角形外部。在(Rt\triangle ADB)中，由勾股定理可得(BD = \sqrt{AB^{2} - AD^{2}} = \sqrt{10^{2} - 6^{2}} = 8)。在(Rt\triangle ADC)中，由勾股定理可得(CD = \sqrt{AC^{2} - AD^{2}} = \sqrt{(2\sqrt{10})^{2} - 6^{2}} = 2)。但此时(BC = BD - CD = 8 - 2 = 6)。
通过观察，本题只有这两种情况，所以答案选C，(6)或(10)。通过上面的解题，我们发现在利用勾股定理解决直角三角形问题时，如果已知两条边求第三条边，且不确定第三条边是直角边还是斜边，需要分类讨论；对于没有图形的几何题目，要自己动手画图，避免遗漏。
知识点二，勾股定理的证明。回顾几个常见的证明方法。
一是赵爽弦图，它由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形。其面积有两种求法：第一种是四个直角三角形的面积和加上小正方形的面积；第二种是直接求大正方形的面积。分别表示出计算结果，经过化简整理可得(a^{2} + b^{2} = c^{2})。
进一步观察这个图形，还有新发现：大正方形的面积等于(a^{2} + b^{2})；小正方形的面积等于((a - b)^{2})；四个全等直角三角形的面积等于大正方形的面积减小正方形的面积，即(a^{2} + b^{2} - (a - b)^{2} = 2ab)；((a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2ab)，也就是大正方形的面积加上四个直角三角形的面积和，还等于((a - b)^{2} + 4ab)。
根据这些发现，完成一道改编的中考题。我国古代数学家赵爽的勾股方圆图由四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成一个大正方形。如果大正方形的面积是(13)，小正方形的面积是(1)，直角三角形两条直角边长分别为(a)、(b)，求：（1）((a - b)^{2})的值；（2）((a + b)^{2})的值；（3）(a)、(b)的值。
通过审题，大正方形面积是(13)，即(a^{2} + b^{2} = 13)；小正方形面积是(1)，即((a - b)^{2} = 1)。
（1）((a - b)^{2})的值就等于小正方形的面积，所以((a - b)^{2} = 1)。
（2）要求((a + b)^{2})的值，先求(2ab)的值。(2ab)等于四个直角三角形面积的和，由已知可得(2ab = 13 - 1 = 12)，所以((a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2ab = 13 + 12 = 25)。
（3）因为(a)、(b)都是正数，((a + b)^{2} = 25)，可得(a + b = 5)，又因为((a - b)^{2} = 1)，可得(a - b = 1)。联立可得方程组(\begin{cases}a + b = 5\a - b = 1\end{cases})，解方程组可得(a = 3)，(b = 2)。这道题就解决了。
再看方法二，同样由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成大正方形。其面积也有两种表示方法，一是四个直角三角形面积加上小正方形的面积，二是大正方形的面积。分别表示出来并化简，也能得到(a^{2} + b^{2} = c^{2})。