师：各位同学，大家好。上一节课我们一起复习回顾了勾股定理的第一小节，本节课我们将一起来回顾勾股定理的第二小节。首先，我们来看一下知识框架图。勾股定理的第二小节是勾股定理的逆定理。在这一小节里，我们学习了互逆命题与互逆定理、勾股定理的逆定理，以及勾股定理与其逆定理的联系和区别。
首先，来看知识点一：互逆命题与互逆定理。我们先看它们的定义。互逆命题：两个命题中，如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。它们之间有什么样的关系呢？命题有真有假，但定理都是真命题。每个命题都有逆命题，但不是所有的定理都有逆定理。
接下来，老师给大家一个原命题，请快速回答出逆命题。“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。”它的逆命题是什么？
生：如果两个角相等，那么它们是对顶角。
师：非常好，这是一个假命题。再看定理与逆定理，老师给大家一个定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。我们用“如果……那么……”把它联系起来，就是“如果一个点在线段的垂直平分线上，那么它与这条线段两个端点的距离相等”，那么它的逆命题是什么呢？
生：如果一个点与线段两个端点的距离相等，那么它在这条线段的垂直平分线上。
师：对，通过研究证明，我们发现这是一个真命题，于是它就是垂直平分线的判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
我们再来看一个最近熟悉的定理——勾股定理。如果直角三角形的两条直角边长分别为(a)、(b)，斜边为(c)，那么(a^{2} + b^{2} = c^{2})。勾股定理的逆定理：如果三角形三边长分别为(a)、(b)、(c)，满足(a^{2} + b^{2} = c^{2})，那么这个三角形是直角三角形。
仔细研究定理，我们发现在这里(c)应该是这个直角三角形的斜边，那么如果(a^{2} + c^{2} = b^{2})，或者(b^{2} + c^{2} = a^{2})，也是可以判断此三角形为直角三角形。
我们来看练习一，以下列各组数为三角形的三边，能构成直角三角形的是：A. (4)、(5)、(6)；B. (1)、(\sqrt{2})；C. (6)、(8)、(10)；D. (2)、(2)、(3)。
生：通过计算，只有B答案符合勾股定理的逆定理，本题答案应选择B。
师：非常好。我们来看它的变式：三角形(ABC)三边满足(\vert a - 5\vert + \sqrt{b - 4} + (c - 3)^{2} = 0)，则三角形(ABC)为什么三角形？A. 等边三角形；B. 钝角三角形；C. 直角三角形；D. 锐角三角形。
生：研究题目，(\vert a - 5\vert)、(\sqrt{b - 4})、((c - 3)^{2})都是非负数，它们的和为(0)只有一种情况，就是它们都为(0)。于是可以得出(a = 5)，(b = 4)，(c = 3)。因为(4^{2} + 3^{2} = 5^{2})，根据勾股定理的逆定理得到三角形(ABC)为直角三角形，本题答案应选择C。
师：很棒。练习二：如图，分别以三角形的三边为直径，向外做三个半圆。如果较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，那么这个三角形为什么三角形？A. 锐角三角形；B. 直角三角形；C. 钝角三角形；D. 锐角三角形或钝角三角形。在本题中，题目条件中没有关于三角形三边长的数量，该如何解决呢？
生：可以设它的边长，分别为(a)、(b)、(c)。这样就可以分别表示出来以各边长为直径的半圆的面积，再利用已知条件列出等式进行化简。
师：很好，设三角形(ABC)三边长分别为(a)、(b)、(c)，则以(b)、(c)为直径的半圆面积等于(\frac{\pi a^{2}}{8})，以(AC)为直径的半圆面积等于(\frac{\pi b^{2}}{8})，以(AB)为直径的半圆面积等于(\frac{\pi c^{2}}{8})。因为(\frac{\pi a^{2}}{8} + \frac{\pi b^{2}}{8} = \frac{\pi c^{2}}{8})，通过化简可以得到(a^{2} + b^{2} = c^{2})。根据勾股定理的逆定理，得此三角形为直角三角形，所以本题答案应该选择B。
练习：如图所示，已知三角形(ABC)中(AB = 8)厘米，(AC = 6)厘米，(BC = 10)厘米，分别以三边(AB)、(AC)及(BC)为直径做半圆，求阴影部分的面积。观察图形，阴影部分由两块不规则图形组成，无法直接求出它的面积，该怎么办呢？
生：研究图形，发现它由四部分组成，三个半圆和一个三角形。这个三角形三边分别是(8)厘米、(6)厘米和(10)厘米，所以它是一个直角三角形。阴影部分的面积应该是由这个图形的面积减去一个大半圆的面积。
师：对，因为(AC^{2} + AB^{2} = BC^{2})，根据勾股定理的逆定理得三角形(ABC)是直角三角形。所求阴影部分的面积等于两个小半圆的面积加上直角三角形的面积减去大半圆的面积，结果等于(24)平方厘米。再看，阴影部分面积与直角三角形面积有什么关系吗？
生：直角三角形的面积也等于(24)平方厘米，所以这里的阴影部分的面积就等于直角三角形的面积。
师：很好。勾股定理的逆定理是根据三角形的三边数量关系得到了三角形的形状，由数到形。知识点三，勾股数的定义：能够成为直角三角形三边长的三个正整数，称为勾股数。那么判断勾股数应该符合两个要求，第一，三个正整数；第二，较小的两个数的平方和等于最大的那个数的平方。举一些常见的例子，比如(3)、(4)、(5)和(5)、(12)、(13)，还有(8)、(15)、(17)，这都是一些勾股数。接下来利用勾股数的定义来解决这样一道题目，下列各组数据是勾股数的有几组？1. (6)、(8)、(10)；2. (1.5)、(2)、(2.5)；3. (3^{2})、(4^{2})、(5^{2})；4. (7)、(24)、(25)；5. (\sqrt{3})、(\sqrt{4})、(\sqrt{5})。