师：同学们，大家好。前面研究平行四边形时，常常把它分成几个三角形，利用三角形全等的性质来研究平行四边形的有关问题。今天，我们利用平行四边形来研究三角形的有关问题。
首先，如何将任意一个三角形分成四个面积相等的小三角形呢？老师相信大家一定有很多种不同的画法。老师展示了其中6种，大家看看这6种不同的画法有没有共同点呢？想必大家发现了，它们都是利用三角形的中线，将一个三角形分成两个面积相等的三角形，再对这两个面积相等的三角形进行等分，从而得到四个面积相等的小三角形。这四个小三角形面积相等，但形状不同。
那如何将任意一个三角形分成四个全等的三角形呢？通过今天的学习，大家将会找到一种新的切割方法来解决这个问题。今天我们要学习三角形中的一条重要线段——三角形的中位线。
如图，在三角形ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE。像DE这样连接三角形两边中点的线段，就叫做三角形的中位线。这里包含两层含义：因为D、E分别是AB、AC的中点，所以DE为三角形ABC的中位线；反过来，因为DE为三角形ABC的中位线，所以点D、点E分别是AB、AC的中点。
那么，一个三角形有几条中位线呢？根据三角形中位线的定义，我们找出三角形三边的中点D、E、F，连接DE、EF、DF。观察图形可知，一个三角形中有三条中位线。
三角形的中位线和三角形的中线一样吗？显然不一样。三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段，而三角形的中线是连接三角形的一个顶点和其对边中点的线段。
认识了三角形的中位线后，我们继续来研究它。探究一下，观察下图，大家能发现三角形ABC的中位线DE与边BC的位置关系吗？通过观察图形，很容易发现DE与BC有可能平行。再看课本48面图18.1 - 14，DE与BC的长度之间有什么数量关系呢？经测量，DE等于1.4厘米，BC等于2.8厘米，所以DE与BC的数量关系有可能为DE等于1/2BC。
下面我们通过几何画板来演示不同形状的三角形ABC的中位线DE与边BC的位置和数量关系。画一个三角形ABC，分别找出AB、AC的中点D、E，连接DE，此时DE为三角形ABC的中位线。
当角ADE等于54度，角B等于54度时，所以角ADE等于角B，那么DE平行于BC。又测得DE等于6.9厘米，BC等于13.8厘米，所以DE等于1/2BC。
当角ADE等于90度，角B等于90度时，角ADE等于角B，所以DE平行于BC。且DE等于6.9厘米，BC等于13.8厘米，所以DE等于1/2BC。
当角ADE等于106度，角B等于106度时，角ADE等于角B，所以DE平行于BC。DE等于5.9厘米，BC等于11.8厘米，所以DE等于1/2BC。
当角ADE等于83度，角B等于83度时，角ADE等于角B，所以DE平行于BC。DE等于6.1厘米，BC等于12.2厘米，所以DE等于1/2BC。
通过改变三角形的形状，在锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中，都有DE平行于BC且DE等于1/2BC。所以，我们可以大胆猜想：DE平行于BC，且DE等于1/2BC。
下面我们进行演绎证明。已知如图，D、E分别是三角形ABC的边AB、AC的中点。求证DE平行于BC，且DE等于1/2BC。所证明的结论既有位置关系，又有数量关系，联系已经学过的知识，我们可以把证明的过程转化到一个平行四边形中，利用平行四边形对边平行且相等的性质来证明，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形。
第一种方法，如图，延长DE到F，使EF等于DE，连接CF、DC、AF。因为对角线互相平分的四边形为平行四边形，所以可证明四边形ADCF是平行四边形（这里用平行且相等的符号来表示平行且相等），即CF平行且等于DA。又因为D是AB的中点，所以AD等于BD，那么CF平行且等于BD。根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，所以四边形DBCF为平行四边形，DF平行且等于BC。因为EF等于DE，且DE等于1/2DF，所以DE平行于BC，且DE等于1/2BC。
第二种方法，过点E做AB的平行线，交BC于点N，交过A点与BC平行的直线于M点。因为AM平行于BC，所以角MAE等于角C，所以三角形AEM全等于三角形CEN（理由为ASA，全等三角形对应边相等），所以AM等于CN，EM等于EN。又因为AM平行于BC，AE平行于MN，根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形，可以证明四边形ABNM为平行四边形。所以AM等于BN，又因为BD等于1/2AB，且AB等于MN，所以BD等于EN。又因为AB平行于MN，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，可以证明四边形DBEN是平行四边形，所以DE等于BN，DE平行于BC。所以DE等于BN等于AM等于CN，即DE等于1/2BC，且DE平行于BC。
还有同学用了不同的做法，过A、B、C三点分别作DE的垂线，垂足分别为P、M、N。因为AP垂直于DE，CN垂直于DE，所以角1等于角2等于角CNE等于90度，所以BM平行于AP，平行于CE。根据已知条件可以证明三角形BDM与三角形ADP全等（理由为AAS）。同理，三角形AEP与三角形CEF全等，由全等三角形对应边相等可得，BM等于AP，DM等于DP，AP等于CN，EP等于EN，BM等于CN，DE等于1/2MN。又因为BM平行于CN，所以四边形BCNM为平行四边形，那么MN平行且等于BC，所以DE平行于BC且DE等于1/2BC。
我们用不同的证法证明了：在三角形ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则DE平行于BC，且DE等于1/2BC。用文字语言描述就是：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。这就是我们今天要学习的三角形的中位线定理。