师：同学们好，今天我们开始沪科版数学八年级下册第16章第二节第五课时——二次根式的混合运算。在前面几节课，我们学习了二次根式的乘除运算法则以及加减运算法则。下面通过几个例题回顾一下。
第一道题，根号3乘以根号下8/3，怎么算呢？
方法一：依据二次根式乘法法则，根号a乘以根号b等于根号AB（a、b都是非负数），可得根号下3乘以8/3 。
方法二：逆用二次根式除法运算法则，将根号下8/3写成根号8除以根号3 。
不管哪种方法，化简后结果是根号8，但根号8并非最简，继续化简。因为8 = 2×4，根号下4×2可根据乘法法则逆写成根号4乘以根号2，最终结果为二倍根号2 。这里还用到二次根式性质，即根号下a的平方等于a的绝对值。
第二题，面对这个算式，该怎么做？
首先进行化简，把式子中每个根式化为最简，得到3倍根号2 -（7倍根号2 - 10倍根号3 + 3倍根号3）。
接着根据去括号法则去掉括号，因为括号前是负号，去括号和负号时，括号里各项要变号，进而得到相应结果。
此时观察化简结果，发现了同类二次根式。3倍根号2和 - 7倍根号2是同类二次根式，10倍根号3和 - 3倍根号3也是同类二次根式。第三步合并同类二次根式，得到最终结果。
检查计算结果，负的4倍根号2和7倍根号3都已最简，且不是同类二次根式，无法再合并。刚才通过两个例题回顾了二次根式的乘除与加减运算，今天我们研究二次根式的混合运算。同学们想想，在七年级和八年级上册，我们研究了实数和整式的混合运算，对于混合运算要注意什么呢？
其一，注意运算顺序，先乘方，再乘除，后加减；若有括号，先算括号里的；若括号里还有乘方、乘除等运算，依旧按先乘方，再乘除，后加减的顺序进行。
其二，讲究运算依据，如运算法则、运算律，像有理数加法运算法则、乘法分配律等。
其三，运算目的是将结果化为最简。
下面探究新问题，看这个算式，包含二次根式的乘、加、除、减运算，还有括号，同学们会怎么处理呢？
首先依据乘法分配律去掉括号，同时根号30除以根号45可利用二次根式除法运算法则进行，得到下一步式子；再利用二次根式乘法运算法则进一步化简，得到根号24 + 根号150 - 根号下2/3 。
接下来继续化简，根号24 = 根号下4×6，4开方得二倍根号6；根号150 = 根号下25×6，化简得五倍根号6；根号2/3通过除法法则逆用写成根号3分之根号2，再分母有理化，最终化简成1/3根号6 。
此时，二倍根号6、五倍根号6和 - 1/3根号6是同类二次根式，将根号前系数相加作为结果系数，根号部分不变，得到20/3倍根号6 。检查化简结果，已最简，这是解法一。
解法二：先把括号内二次根式化简，同时将式子中所有二次根式化简，得到根号3×（二倍根号2 + 五倍根号2） - 根号30÷根号45化简后的结果3倍根号5 。
接着合并括号内同类二次根式，同时逆用二次根式乘法法则，将根号30写成根号6×根号5 。此时分数线上下的根号5可像小学分数约分一样约去，得到7倍根号6 - 3分之根号6 。7倍根号6和 - 3分之根号6是同类二次根式，合并后也是20/3倍根号6 。
这是问题一，看下一个算式，看到这种形式，联想到第8章整式乘法运算，类似两个二项式乘积，比如（a + b）×（c + d），我们会怎么做呢？
拿其中一个多项式每一项分别与另一个多项式每一项相乘，再把结果相加，即a先与c乘，再与d乘，b先与c乘，再与d乘，最终得到ac + ad + bc + bd 。
类比这个方法，看这道题，先拿根号3分别与第二个括号内每个数相乘，得到根号3×二倍根号3 = 6，根号3×（ - 2） = - 2倍根号3 ；再拿1分别与二倍根号3以及 - 2相乘，最后把结果相加，化简后得6 - 2 = 4 ，这是解法一。
同学们想想还有别的解法吗？仔细观察算式，在第二个括号中提取因数2，得到2×（根号3 - 1），和前面的因数（根号3 + 1），联想到平方差公式。变形后，借鉴平方差公式计算，2×（根号3的平方 - 1的平方），结果也是4 。
看第三题，面对这个算式，如果类比前面知识，会联想到两个三项式相乘。若按此计算，要拿1分别与1、 - 根号2、根号3相乘，拿根号2也与后面三个数相乘，再拿 - 根号3与1、 - 根号2、根号3相乘，最后把9个数相加。但有必要这么做吗？
仔细观察题目，两个括号里的数，1出现两次，第一个括号是根号2 - 根号3，第二个括号是 - 根号2 + 根号3，把根号2 - 根号3视作整体， - 根号2 + 根号3就是它的相反数。将整体用括号括起来，原式变为1 +（根号2 - 根号3）×1 - （根号2 - 根号3）。