师：同学们好，今天我们来学习一元二次方程。首先看一个实际问题。某蔬菜队2009年无公害蔬菜产量为100吨，计划2010年达到145吨。要实现这一目标，2010年无公害蔬菜产量的年增长率n是多少？针对这个问题，大家有什么方法呢？
生：可以用小学的算术方法，增长率等于增量除以原总量乘以百分之百。这里的增量是145 - 100，原总量是100吨，所以(145 - 100)÷100×100% = 45%，2010年无公害蔬菜产量的年增长率为45%。
师：除了这种做法，还有不同的做法吗？
生：可以用七年级学过的方程来解决实际问题。先审题，寻找已知、未知以及其中的数量关系和等量关系。已知2009年无公害蔬菜产量为100吨，2010年变为145吨，从2009年到2010年增长了一次，等量关系就是2010年无公害蔬菜产量为145吨。设2010年无公害蔬菜产量的年增长率为x，2010年无公害蔬菜产量可以表示为100 + 100x，提取100就是100(1 + x) ，解得x = 45%。
师：以上问题，我们用了两种方法解决。现在老师把问题变一变，某蔬菜队2009年全年无公害蔬菜产量为100吨，计划2011年无公害蔬菜产量翻一番，即达到200吨。要实现这一目标，2010年和2011年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？针对这个问题，算术方法还行吗？
生：不方便计算。
师：那怎么办呢？
生：依然可以用方程来解决。先把实际问题转化为熟悉的数学问题，分析题意，寻找已知量、未知量及其数量关系。已知2009年无公害蔬菜产量为100吨，2011年为200吨，年平均增长率就是2010年和2011年的增长率相同，本题的等量关系是2011年无公害蔬菜产量为200吨。设2010年至2011年无公害蔬菜产量的年平均增长率为x，先表示2010年的产量，2009年是100吨，2010年就是100 + 100x = 100(1 + x) 。2011年是在2010年基础上再增长x，所以2011年无公害蔬菜产量是100(1 + x) + 100(1 + x)x ，提取100(1 + x) ，得到100(1 + x)2 。由题意可得100(1 + x)2 = 200 ，即(1 + x)2 = 2 ，展开降幂排列得到x2 + 2x - 1 = 0 。
师：这是方程吗？是什么方程呢？回忆一下，之前我们得到100(1 + x) = 145 ，这是一元一次方程，为什么叫一元一次方程呀？
生：因为它含有一个未知数，未知数的次数都是一。
师：类比一元一次方程，能给这个新方程起个名字吗？
生：一元二次方程。
师：为什么叫一元二次方程呢？
生：因为它含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2。
师：那能说一说什么是一元二次方程吗？先回忆下一元一次方程的概念，什么是一元一次方程？
生：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是一，等式两边都是整式的方程。
师：类比一元一次方程的概念，说说什么是一元二次方程？
生：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，等式两边都是整式的方程。简而言之，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，就是一元二次方程。
师：老师最近遇到个问题。在一块宽20米，长32米的长方形空地上修筑宽相等的三条小路，两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直，把这块空地分成大小一样的六块，建成小花坛。要使花坛的总面积为570平方米，问小路的宽应是多少？针对这个问题，大家有什么做法？
生：用方程来解决。先审题，分析已知量、未知量及数量关系和等量关系。已知长方形空地长32米，宽20米，修三条等宽小路，两纵一横分成六块面积相等的花坛，花坛总面积为570平方米，求小路宽。等量关系是花坛总面积为570平方米，也就是长方形空地面积减去3条小路的面积等于花坛面积，即S长方形空地 - S小路 = S花坛。
师：那接下来设未知数，怎么设呢？
生：直接设小路的宽为x米。横向小路面积是32x平方米，纵向小路面积是2×20x平方米，两条纵向小路和一条横向小路有两个重叠部分，是小正方形，重叠部分面积是x2平方米。根据等量关系可列方程32×20 - (32x + 2×20x - x2) = 570 ，化简整理得x2 - 36x + 35 = 0 。