师：同学们好，请大家做好课前准备。今天由我带大家一起学习一元二次方程的解法第二课时。首先进入温故知新环节，上一节课我们学习了直接开平方法。直接开平方法是依据平方根的定义，将一元二次方程通过直接开平方法降次，转化成一元一次方程进行求解。请大家试着用直接开平方法解以下方程，回顾相关知识。
第一个方程，$x^2 - 1 = 0$。先移项，得到$x^2 = 1$，再直接开方，$x = ±1$，解得$x_1 = 1$，$x_2 = -1$。
第二个方程，$2x^2 = 1$。首先系数化为一，两边同时除以$2$，得到$x^2 = \frac{1}{2}$，再直接开方，$x = ±\sqrt{\frac{1}{2}}$，化成最简二次根式，$x_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}$，$x_2 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$。
第三个方程，$2(x + 1)^2 - 1 = 3$，怎么求解呢？首先，$2(x + 1)^2 = 4$，系数化为一，$(x + 1)^2 = 2$，直接开方，$x + 1 = ±\sqrt{2}$，于是$x_1 = \sqrt{2} - 1$，$x_2 = -\sqrt{2} - 1$。
刚才这些方程都能转化成左边是平方的形式，右边是非负数，所以可以用直接开平方法求解。再看这个方程，在原来$x^2 - 1 = 0$的基础上添加了$2x$项，这个方程还能用直接开平方方法求解吗？显然不可以。
那该怎么办呢？如果要用直接开平方法，左边必须改写成含$x$的平方形式，右边是一个非负数，也就是要给它配成完全平方的形式。怎么配呢？先做一组预备练习，在括号内填上合适的数，使等式成立。
（同学们完成练习后）我们发现，第一个括号内填$4$，第二个也是$4$；第二个式子分别填的都是$\frac{5}{2}$；第三个填了$\frac{5}{4}$；第四题添上$\frac{p}{2}$。观察这些式子，左边都是二次三项式，右边是完全平方的形式，这让我们联想到之前学过的完全平方公式：$a^2 ± 2ab + b^2 = (a ± b)^2$。大家看，刚才填的这些数有什么联系和规律呢？为了让左边式子和右边式子相等，添加的常数项应该是一次项系数一半的平方。比如第一题，$4$是一次项系数$8$一半的平方；第二题，$(\frac{5}{2})^2$是一次项系数$5$一半的平方；第三题，一次项系数是$-\frac{5}{2}$，它的一半是$-\frac{5}{4}$，$(-\frac{5}{4})^2 = (\frac{5}{4})^2$，所以也是一次项系数一半的平方；最后一题，一次项系数是$p$，添上$(\frac{p}{2})^2$。由此可知，对于二次项系数是$1$的二次三项式，只要添上常数项是一次项系数一半的平方，就可以配成完全平方的形式。即对于$x^2 + px$，添上$(\frac{p}{2})^2$，就可以配成$(x + \frac{p}{2})^2$。
掌握了这个方法，再回头看原方程$x^2 + 2x - 1 = 0$，怎么配方呢？第一步先移项，$x^2 + 2x = 1$。接着对左边配方，给它加上$1$，两边都要加$1$，于是左边化成$(x + 1)^2 = 2$。这个形式大家很熟悉了，利用上节课的直接开平方法，$x + 1 = ±\sqrt{2}$，从而求出原方程的解，$x_1 = \sqrt{2} - 1$，$x_2 = -\sqrt{2} - 1$。这里问大家，为什么要在方程两边同时加$1$，加其他数行不行？不行，因为我们是在两边同时加上一次项系数$2$一半的平方，也就是$1$的平方，所以不能换其他数。强调一下，在方程两边要加上一次项系数一半的平方，并且一定要注意，这是在二次项系数为$1$的前提下。
总结一下，像这样先对一元二次方程配方，使它出现完全平方式，再直接开平方求解的方法就叫做配方法，这是我们今天要学习的第二个解一元二次方程的方法。简单说，配方法就是把一元二次方程转化成$( )^2 = p$的形式，也就是转化成能用直接开平方法求解的形式。接下来利用刚才的知识求解新方程。
把原来方程的系数改成$2$，解方程$2x^2 + 2x - 1 = 0$。第一步移项，将常数项$-1$移到方程右侧，原方程变为$2x^2 + 2x = 1$。第二步系数化一，方程两边同时除以二次项系数$2$，得到$x^2 + x = \frac{1}{2}$。第三步配方，根据前面所学，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，这里一次项系数是$1$，两边应同时加上$(\frac{1}{2})^2$，左边配成$(x + \frac{1}{2})^2$，右边是$\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$。第四步开方，$x + \frac{1}{2} = ±\sqrt{\frac{3}{4}} = ±\frac{\sqrt{3}}{2}$。最后求解，$x = ±\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}$，通分写成$x_1 = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$，$x_2 = -\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$。注意这道题二次项系数不是$1$，比较它和之前做法，当二次项系数不是$1$时，要先系数化一再进行配方。
再看方程$2x^2 + 1 = 3x$，怎么求解呢？首先移项，把一次项$3x$移到左边，常数项$1$移到右侧，得到$2x^2 - 3x = -1$。接着系数化一，得到$x^2 - \frac{3}{2}x = -\frac{1}{2}$。现在它变成二次项系数为$1$的一元二次方程，可以配方了。两边同时加一次项系数一半的平方，这里一次项系数是$-\frac{3}{2}$，它的一半是$-\frac{3}{4}$，$(-\frac{3}{4})^2 = (\frac{3}{4})^2$，左边配方得到$(x - \frac{3}{4})^2$，右边通分计算，$-\frac{1}{2} + \frac{9}{16} = \frac{9}{16} - \frac{1}{2} = \frac{1}{16}$。开方，$x - \frac{3}{4} = ±\frac{1}{4}$。解这个一元一次方程，$x_1 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$，$x_2 = -\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$。