师：同学们好，请大家准备好学习用品。今天由我继续带领大家学习一元二次方程的解法，今天是一元二次方程解法的第三课时。首先，我们来回顾一下前面学过的内容。上一节课，我们学习了配方法，就是将一元二次方程通过配方法转化成可以用直接开平方法求解的一元二次方程。
我们回顾一下配方法求解一元二次方程的步骤，一共有五步，分别是移、化、配、开、求。移，就是把常数项移到方程右边；化，是将二次项系数化为1；配，是在方程两边加上一次项系数一半的平方；开，当配方后右边是非负数时，就可以利用直接开平方法求解；最后求，就能得出一元二次方程的两个根，也就是两个解。
这里要注意，把方程化成二次项系数为1的一元二次方程时，配方的原则是两边同时加上一次项系数一半的平方。
下面，请大家利用昨天学的知识，用配方法来解方程(2x2 - 4x - 1 = 0)，该怎么解呢？
首先移项，得到(2x2 - 4x = 1)；接着系数化为1，得(x2 - 2x = \frac{1}{2})。然后配方，两边同时加上一次项系数(-2)一半的平方，也就是((-1)2)，两边同时加1，得到((x - 1)2 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2})。再开方，得到(x - 1 = ±\sqrt{\frac{3}{2}} = ±\frac{\sqrt{6}}{2})。于是方程的两个解分别是(x_1 = 1 + \frac{\sqrt{6}}{2})，(x_2 = 1 - \frac{\sqrt{6}}{2})。
好，我们再来看对于一元二次方程的一般形式(ax2 + bx + c = 0)，大家能不能也用配方法进行求解呢？
首先还是移项，得到(ax2 + bx = -c)，将常数项(c)移到右侧。接着系数化为1，因为(a≠0)，所以方程两边同时除以(a)，得到(x2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a})。然后配方，两边要同时加上一次项系数(\frac{b}{a})一半的平方，也就是((\frac{b}{2a})2)。配方完以后，左边变成((x + \frac{b}{2a})2)。
那么右边呢？右边计算一下，通分得到(\frac{b2}{4a2} - \frac{c}{a} = \frac{b2}{4a2} - \frac{4ac}{4a2} = \frac{b2 - 4ac}{4a2})。开方时要注意，因为(a≠0)，所以(4a2)是正数，要保证右边(\frac{b2 - 4ac}{4a2})是非负数才能开方。我们发现右边这个分式分母是正数，要使分式值非负，只有当(b2 - 4ac≥0)时，右边式子才是非负数。这时开方后得到(x + \frac{b}{2a} = ±\frac{\sqrt{b2 - 4ac}}{2a})，移项可得(x = \frac{-b ± \sqrt{b2 - 4ac}}{2a})。于是我们得到两个解，分别是(x_1 = \frac{-b + \sqrt{b2 - 4ac}}{2a})，(x_2 = \frac{-b - \sqrt{b2 - 4ac}}{2a})。
大家有没有发现，当(b2 - 4ac≥0)时，方程的解只与(a)、(b)、(c)有关，也就是只与一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项有关。换句话说，如果知道一元二次方程的(a)、(b)、(c)的值，是不是就可以直接代入这个式子求解，省略前面配方的步骤呢？这里我们就得到了一元二次方程的求根公式(x = \frac{-b ± \sqrt{b2 - 4ac}}{2a})，注意这个公式要求(b2 - 4ac≥0)。
如果(b2 - 4ac＜0)会怎样呢？回忆一下，当(b2 - 4ac＜0)时，右边分式(\frac{b2 - 4ac}{4a2}＜0)，也就是说配方后左边是((x + \frac{b}{2a})2)，右边是负数，此时原方程就没有解，因为任何数的平方都是非负数，所以方程没有实数根。
所以要强调，使用求根公式代入(a)、(b)、(c)值直接求一元二次方程的解，必须保证前提条件(b2 - 4ac≥0)，如果小于(0)，原方程无实数解，就不能代入公式。像这样利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法，这就是我们今天学习的第三个一元二次方程的解法。
好，刚刚学完公式法和求根公式，能不能用刚学的知识来解一下方程(2x2 - 4x - 1 = 0)呢？首先要确定(a)、(b)、(c)的值，(a)是二次项系数，为(2)；(b)是一次项系数，是(-4)，注意要带上负号；(c)是常数项，为(-1)，负号不能丢。
接下来能不能直接代入公式呢？显然不行，要先计算(b2 - 4ac)。在这道题中，(b2 - 4ac = (-4)2 - 4×2×(-1) = 16 + 8 = 24)，(24＞0)，所以可以代入求根公式。那么(x = \frac{-(-4) ± \sqrt{24}}{2×2} = \frac{4 ± 2\sqrt{6}}{4} = \frac{2 ± \sqrt{6}}{2})，化简后(x_1 = 1 + \frac{\sqrt{6}}{2})，(x_2 = 1 - \frac{\sqrt{6}}{2})。我们发现这样解出的方程的解和配方法一样，而且对比两种解法，公式法更精炼、更方便。
也就是说，今天学习之后，我们可以用公式法求解一元二次方程，比之前的配方法更简便。回顾一下公式法求解的步骤：