师：亲爱的同学们，大家好。前面几节课我们已经学习了一元二次方程的相关知识，现在一起来回顾一下。同学们，你们还记得一元二次方程的一般形式是什么吗？
生：一元二次方程的一般形式是$ax2 + bx + c = 0$，二次项系数$a$不能为$0$。
师：非常好。那一元二次方程的求根公式又是什么呢？
生：一元二次方程的求根公式是$x = \frac{-b \pm \sqrt{b2 - 4ac}}{2a}$，其中$b2 - 4ac \geq 0$。
师：为什么要注明$b2 - 4ac \geq 0$呢？
生：只有在$b2 - 4ac \geq 0$的前提条件下，一元二次方程才有实数根，才能用求根公式求它的实数根。
师：我们把$b2 - 4ac$记作$\Delta$，叫做一元二次方程根的判别式。那么$\Delta$是如何判定一元二次方程根的情况的呢？
生：$\Delta > 0$时，方程有两个不相等的实数根；$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根；$\Delta < 0$时，方程没有实数根。
师：相信这些知识同学们都掌握得很好。一元二次方程的求根公式与它根的判别式都揭示了一元二次方程的根与系数之间的关系，那一元二次方程的根与它的系数是否还有更深层次的联系呢？这就是我们本节课要探究的内容。请同学们拿出草稿纸，算一算屏幕上的三个方程，求出它们的根，并求出两根之和与两根之积，填入表格中，看谁算得又快又好。
（同学们计算完毕）
师：同学们，算好了吗？我们一起来对答案。第一个方程$x2 + 2x - 15 = 0$，可以用配方法或因式分解法求出它的两个根，分别是$-5$和$3$。此时两根之和是$-5 + 3 = -2$，两根之积是$-5×3 = -15$。第二个方程$3x2 - 4x + 1 = 0$，用因式分解法或公式法求出它的两个根，分别是$\frac{1}{3}$和$1$，此时两根之和是$\frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$，两根之积是$\frac{1}{3}×1 = \frac{1}{3}$。看第三个方程$2x2 - 5x + 1 = 0$，用求根公式求出它的两个根，分别是$\frac{5 + \sqrt{17}}{4}$和$\frac{5 - \sqrt{17}}{4}$。如何计算它的两根之和呢？两个根分母相同，分母不变，分子相加，$(\ 5 + \sqrt{17}) + (5 - \sqrt{17}) = 10$，所以两根之和是$\frac{10}{4} = \frac{5}{2}$。$x_1×x_2$又该如何计算呢？分母乘分母，分子乘分子，分母$4×4 = 16$，分子$ (5 + \sqrt{17})×(5 - \sqrt{17})$符合平方差公式，即$52 - (\sqrt{17})2 = 25 - 17 = 8$，所以$x_1×x_2 = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$。同学们，算对了吗？我们通过解一元二次方程，求得一元二次方程的两根之和与两根之积，那一元二次方程的两根之和与两根之积与方程中各项的系数有什么关系呢？我们一起来看看。首先看两根之和，三个方程的两根之和分别是$-2$、$\frac{4}{3}$和$\frac{5}{2}$，方程二、方程三的两根之和都是分数，看看这个分数的分母分别是$3$和$2$，它对应方程中的哪一项系数呢？和方程中二次项系数是不是相同？再看分子，方程二的分子是$4$，方程中哪一项系数和$4$有关呢？对，一次项系数是$-4$，与$4$互为相反数。方程三，分母分子是$5$，一次项系数是$-5$，它们也互为相反数。如此，我们是否能初步猜想一元二次方程的两根之和等于多少呢？分母是二次项系数$a$，分子是一次项系数$b$的相反数，也就是$-\frac{b}{a}$。回到方程一的两根之和来看，方程一的两根之和是$-2$，可以把它的分母看作$1$，对应二次项系数$a$，分子$-2$，对应一次项系数$b$的相反数，可见方程一的两根之和也满足我们刚才的猜想。对于一般的一元二次方程$ax2 + bx + c = 0$，如果这个方程有根，它的两个根分别是$\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$和$\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$。我们刚才猜想它的两根之和是多少呢？
生：两根之和是$-\frac{b}{a}$。
师：同学们，能不能仿照刚才观察的方法，大胆猜想一下一元二次方程的两根之积与它系数有什么样的关系呢？
生：方程二和方程三的两根之积都是分数，分母对应二次项系数$a$，分子对应常数项$c$，所以猜想$x_1×x_2 = \frac{c}{a}$。
师：回到方程一中，两根之积是$-15$，可以把它看作分母为$1$的数，分母$1$对应二次项系数$a$，分子$-15$对应常数项，此时可以得到第二个猜想，一元二次方程的两根之积等于$\frac{c}{a}$。同学们，任何猜想都要经过严格证明才能说明其正确性。下面我们来证明这两个猜想。已知一元二次方程$ax2 + bx + c = 0$的两个根分别是$x_1$，$x_2$。求证$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1×x_2 = \frac{c}{a}$。我们来分析题目条件，已知一元二次方程的两个根，这两个根可不可以用$a$、$b$、$c$表示出来呢？
生：可以用求根公式分别求出这两个根。
师：对，首先用求根公式表示出$x_1$和$x_2$，$x_1 = \frac{-b + \sqrt{b2 - 4ac}}{2a}$，$x_2 = \frac{-b - \sqrt{b2 - 4ac}}{2a}$ ，两个可以互换，因为我们要求的是两根之和与两根之积。$x_1 + x_2$就等于$\frac{-b + \sqrt{b2 - 4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b2 - 4ac}}{2a}$ ，分母相同，分子相加，分母是$2a$，分子中$ + \sqrt{b2 - 4ac}$和$ - \sqrt{b2 - 4ac}$可以消去，从而得到分子是$-2b$，也就是$\frac{-2b}{2a}$，上下同时约去$2$，得到最终结果是$-\frac{b}{a}$，证明了我们的第一个猜想。对于一元二次方程$ax2 + bx + c = 0$，它的两个根分别是$x_1$和$x_2$，可以得到$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$。接下来看第二个猜想，$x_1×x_2 = \frac{c}{a}$，如何证明呢？
生：$x_1×x_2 = \frac{-b + \sqrt{b2 - 4ac}}{2a}×\frac{-b - \sqrt{b2 - 4ac}}{2a}$，分母乘分母得到$4a2$，分子满足平方差公式，得到$(-b)2 - (\sqrt{b2 - 4ac})2$ 。
师：非常好，这里要注意$(-b)2$的底数是$-b$，需要加上括号。整理一下，$(-b)2 = b2$，$(\sqrt{b2 - 4ac})2 = b2 - 4ac$，此时要把$b2 - 4ac$看作一个整体，加上括号，得到$\frac{b2 - (b2 - 4ac)}{4a2} = \frac{4ac}{4a2}$，$a \neq 0$，上下同时除以$4a$，得到最终结果是$\frac{c}{a}$，证明了第二个猜想。整理一下结论，如果一元二次方程的两个根分别是$x_1$、$x_2$，那么$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1×x_2 = \frac{c}{a}$。这个定理是16世纪法国数学家韦达发现的，因此称作韦达定理。同学们，使用韦达定理的时候要注意些什么呢？
生：韦达定理中两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，不要把负号弄丢。而且要在方程有实数根，即$\Delta \geq 0$的前提条件下，才有韦达定理。
师：当二次项系数$a = 1$时，方程可化成$x2 + px + q = 0$的形式，方程的两个根为$x_1$和$x_2$，此时韦达定理可以表示成$x_1 + x_2 = -p$，$x_1×x_2 = q$ ，这是韦达定理的特殊形式。当二次项系数为$1$时，一元二次方程的两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。同学们，会了吗？下面用韦达定理来解决一些问题。求下列方程的两根之和与两根之积。使用韦达定理时需要做哪些准备呢？
生：要确定$a$、$b$、$c$的值，还要判断$\Delta$是否大于等于$0$。
师：很好。来看第一题，确定$a$、$b$、$c$的值，大家大声说出来。
生：$a = 1$，$b = 7$，$c = 6$。
师：算一下$\Delta = b2 - 4ac = 72 - 4×1×6 = 25 > 0$，可以使用韦达定理了。此时$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -7$，$x_1×x_2 = \frac{c}{a} = 6$，也可以用韦达定理的特殊形式得到这个结果。那第二题该怎么做呢？
生：需要把第二题先改成一元二次方程的一般式，这样能更准确找到$a$、$b$、$c$。
师：改成一般式后得到$2x2 - 3x - 2 = 0$，那么$a = 2$，$b = -3$，$c = -2$。注意$a$、$b$、$c$指的是一元二次方程中各项的系数，要带上前面的符号。算一下$\Delta = (-3)2 - 4×2×(-2) = 25 > 0$，可以用韦达定理了。此时$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-3}{2} = \frac{3}{2}$，$x_1×x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-2}{2} = -1$。同学们，算对了吗？使用韦达定理时要做哪些准备呢？
生：首先要把一元二次方程化成一般式，准确找出$a$、$b$、$c$。同时要注意，韦达定理的前提条件是$\Delta \geq 0$，要在$\Delta \geq 0$的前提条件下才能使用韦达定理。
师：接下来看一道题，已知方程$x2 + px + q = 0$的两个根分别是$2$和$-1$，求$p$和$q$的值。有同学说会做，在学习一元二次方程概念时，已知方程的根可以怎么做？
生：把方程的根代入原方程，得到关于$p$、$q$的两个方程，联立方程组，解出方程组就能求出$p$和$q$的值。
师：非常好。还有其他方法吗？
生：可以利用韦达定理，$x2 + px + q = 0$符合韦达定理的特殊形式，可得$x_1 + x_2 = -p$，$x_1×x_2 = q$ 。已知方程的两个根，两根之和与两根之积能马上算出来，$x_1 + x_2 = 2 + (-1) = 1$，$1 = -p$，所以$p = -1$；$x_1×x_2 = 2×(-1) = -2$，所以$q = -2$。
师：很好。看第2题，已知方程$3x2 + px + q = 0$的两个根为$2$和$-1$，求$p$、$q$的值。这道题跟上面题目差不多，能不能直接用$x_1 + x_2 = -p$，$x_1×x_2 = q$ 来算呢？
生：不能，这个方程$a = 3$，不是韦达定理的特殊形式。
师：那这道题该如何解决呢？
生：可以用韦达定理的一般形式，$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{p}{3}$，$2 + (-1) = 1$，$-\frac{p}{3} = 1$，所以$p = -3$；$x_1×x_2 = \frac{c}{a} = \frac{q}{3} = -2$，所以$q = -6$。
师：已知一元二次方程的根求方程中各项系数时，不仅可以把方程的根代入原方程，还能用韦达定理来求，这样可能更简洁。来看一组练习，判断下列各方程后面括号内的两个数是不是它的根。前面学习根的概念时，可以把这两个数分别代入原方程，检验原方程是否成立，就知道这两个数是不是方程的根。今天学了韦达定理，可以怎样做呢？
生：可以求出方程的两根之和与两根之积，然后与所给的两个数对比，就知道所给的两个数是否是方程的两个根。
师：我们来试一试。第一个方程$x2 + 5x + 4 = 0$，它的两根之和是$-5$，两根之积是$4$。看所给的两个数$1$和$4$，$1 + 4 = 5$，与原方程的两根之和$-5$不符，所以$1$和$4$不是方程的两个根。看第二题，算出它的两根之和是$6$，两根之积是$7$。看所给的两个数$-1$和$7$，$-1 + 7 = 6$，$-1×7 = -7$，与原方程的两根之和与两根之积不一样，所以$-1$和$7$不是原方程的两个根。同学们，会了吗？我们梳理一下本节课所学内容。本节课研究了一元二次方程$ax2 + bx + c = 0$的根与系数之间的关系，它的两个根分别是$x_1$、$x_2$，有$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1×x_2 = \frac{c}{a}$，这就是韦达定理。利用韦达定理可以已知方程根求方程中的各项系数，也可以检验所求根的正确性。千万不能忘记，使用韦达定理的前提条件是一元二次方程有实数根，即$\Delta \geq 0$。在探究韦达定理的过程中，从几个特殊的方程观察、猜想，验证出一般性的结论，当$a = 1$时，得到韦达定理的特殊形式。这种从特殊到一般再到特殊的研究问题的方法，希望同学们能运用到今后的学习和生活中。今天的作业是$39$页练习第一题，$40$页第一题、第二题。今天这节课就上到这里，同学们，再见。