师：同学们好，前面我们学习了平行四边形的相关性质，现在一起回顾一下，大家都掌握了哪些平行四边形的知识呢？平行四边形的定义是：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。当我们知道一个四边形是平行四边形时，就能得出它的对边平行且相等，对角也相等。由性质一还得到了“平行线间的平行线段相等”以及“平行线间的距离处处相等”这两个结论。平行四边形的性质三是对角线互相平分。我们研究几何问题，一般从定义、性质、判定等方面进行。现在我们已经学习了平行四边形的定义和性质，那么对于一个四边形，如何判断它是平行四边形呢？这就是本节课要探究的问题——平行四边形的判定。
通过本节课的学习，希望大家能有以下收获：一、能通过具体操作的观察和思考，发现平行四边形的判定条件，完成平行四边形判定定理的推导；二、能够说出平行四边形的判定定理一、定理二的内容；三、能熟练运用平行四边形的判定定理解决简单的证明问题；四、通过定理的证明和问题的解决，进一步体会把四边形问题转化为三角形问题解决的思想方法。请同学们准备好笔直尺、圆规和作业本，跟老师一起开始本节课的学习和研究。
和研究其他几何问题一样，研究平行四边形判定方法时，我们从数量和位置关系两方面入手。根据定义，两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，这给我们提供了判定平行四边形的一种方法。同学们想一想，一组对边平行的四边形一定是平行四边形吗？
生：不一定，梯形就满足一组对边平行，但不是平行四边形。
师：非常好，那如何添加条件，它才会是平行四边形呢？我们可以从四边形的边角、对角线等元素进行探究。本节课如果只考虑一组对边的关系，当它们满足什么条件时，它会成为平行四边形呢？我们用几何画板试一试。在梯形ABCD中，AB平行于CD。根据平行四边形对边相等的性质，我们尝试让这组平行的对边相等。现在这个四边形ABCD具备了什么条件呢？
生：一组对边平行且相等。
师：那它是平行四边形吗？我们来验证一下。度量角A和角B，发现这组同旁内角互补，可得AD平行于BC，又因为AB平行于CD。根据平行四边形的定义可知它是平行四边形。由此我们可以进行猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。这个猜想正确吗？如何证明它呢？我们要先分清命题的条件和结论，根据命题画出相应的图形，并写出已知求证。
如图一，在四边形ABCD中，AB平行于CD，且AB = CD。求证：四边形ABCD为平行四边形。在此请同学们思考一下，会用什么方法判断一个四边形是平行四边形呢？
生：可以根据平行四边形的定义来判断。
师：对，题中已经给出了一组对边AB平行于CD，因此我们需要证明另外一组对边AD和BC也是平行的就可以了。要证明平行，我们学过什么方法呢？
生：可以尝试去找同位角、内错角或者同旁内角的关系。
师：非常好，由已知不能证明同旁内角互补。结合我们在前面探究平行四边形性质的方法，将四边形转化成三角形的问题。所以我们可以连接AC，当然连接BD也是可以的。这样我们就发现有一组内错角∠ACB和∠CAD，如果这两个角相等，AD和BC就平行。而证明这两个角相等，你想到什么方法呢？
生：结合图形考虑两个三角形全等。
师：是的，在三角形ABC和三角形CDA中，AB = CD，再由AB平行于CD就能找到一组内错角∠BAC和∠ACD相等，AC是公共边，可以利用边角边来证明这两个三角形全等，我们需要的这一组内错角就相等了，问题就迎刃而解。同学们，你们的思路也是这样的吗？我们一起来证明吧。
证明：连接AC，因为AB平行于CD，由平行得到一组内错角相等，再加上有两边对应相等，依据边角边就可以得到三角形ABC全等于三角形CDA，所以∠ACB = ∠CAD。根据内错角相等，两直线平行可以得到AD平行于BC。由此我们根据平行四边形的定义可知四边形ABCD是平行四边形，这就证明了我们的猜想是正确的。那么我们判定一个四边形是平行四边形，就有了新的方法。平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。为了方便表示，我们常常用平行线下加个等号表示平行且相等。定理的几何语言可以表示为：在四边形ABCD中，因为AB平行于CD，AB = CD，所以四边形ABCD是平行四边形。另外一组对边AD和BC平行且相等，也可以判定一个四边形是平行四边形。
定理一是通过四边形的一组对边的关系来判定一个四边形是平行四边形的，而平行四边形的定义是通过两组对边的位置关系来进行判定的。那同学们思考一下，我们能否从两组对边的数量关系上进行判定？请同学们拿出准备好的学习工具，我们一起来试一试。过点A作两条不共线的线段AB、AD。以点B为圆心，AD长为半径画弧，再以点D为圆心，AB长为半径画弧，两弧相交于点C，分别连接BC、DC，这样就得到了四边形ABCD。请同学们想一想，这样做出来的四边形是平行四边形吗？
生：通过作图可知AB = CD，AD = BC，这个四边形的两组对边分别相等。
师：那我们画出来的这个两组对边分别相等的四边形是平行四边形吗？我们仍然可以进行猜想：满足两组对边分别相等的四边形是平行四边形。如何证明这个猜想呢？根据命题结合图形写出已知和求证。
如图2，在四边形ABCD中，AB = CD，AD = BC。求证：四边形ABCD是平行四边形。我们来看，题目中已经有了两组对边相等。根据我们刚才所学的判定定理一的方法，我们只需要再证明一组对边平行即可。类比定理一的证明方法，可以连接AC或者连接BD。再根据已有的两组对边相等，AC是公共边，能得到三角形ABC和三角形CDA这两个三角形全等。于是我们就得到了一组内错角相等，可证明AD平行于BC，或者这一组内错角相等可证得AB平行于CD。根据定理一就可以得到结论。同学们可以沿着这个思路先证一下。
下面我们一起来证明一下。
证明：连接AC，因为AB = CD，AD = BC，AC = CA。根据三边对应相等的两个三角形全等，可以判定三角形ABC全等于三角形CDA，就得到一组内错角∠ACB = ∠CAD。由此可以得到AD平行于BC。又因为AD = BC，根据判定定理一可得四边形ABCD是平行四边形。我们也可以根据定义来证明，这个问题留给同学们课后继续探究。