师：同学们好，前面几节课我们已经学习了平行四边形的性质和几个判定方法，现在跟着老师一起来回顾一下。通过之前的学习，我们知道两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，这既是定义，也是判定平行四边形的方法。我们从边、角以及对角线三个方面探究了平行四边形的性质。前面的课，我们从平行四边形边的关系探究出了它的判定方法，定理一：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；定理二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。那么，我们可不可以试着从对角线或角的关系来判定一个四边形是平行四边形呢？这节课我们就继续探究平行四边形的判定方法。老师希望通过这节课的学习，同学们能有以下收获：经历类比、观察、猜想、推理的过程，发现平行四边形的判定定理3并学会运用；通过判定定理3的推理，掌握将四边形的问题转化成三角形的问题的一般方法，渗透划归思想；能够熟练运用平行四边形的四种判定方法和性质进行证明。
我们知道平行四边形的对角线是互相平分的，那么对角线互相平分的四边形是平行四边形吗？在探究这个问题之前，请同学们思考如何画出一个对角线互相平分的四边形呢？下面我们来看一看小明是怎么画的。作两条直线L1、L2相交于点O，在直线L1上截取OA = OC，在直线L2上截取OB = OD，顺次连接A、B、C、D，这样就得到了对角线互相平分的四边形ABCD。这个四边形是平行四边形吗？我们该怎么验证呢？同学们可以用度量的方法验证一下。
生：度量这个四边形两组对边的长度，AB = 5.48厘米，CD = 5.48厘米，AD = 3.86厘米，BC = 3.86厘米。由度量的结果可知，AB = CD，AD = BC。依据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可判断四边形ABCD是平行四边形。
生：我们也可以度量三个内角的度数，∠DAB = 50.85°，∠ABC = 129.15°，∠CDA = 129.15°。由度量的结果可知，∠DAB + ∠ABC = 180°，∠DAB + ∠ADC = 180°。依据同旁内角互补，两直线平行，可证出AD∥BC，AB∥CD，再依据平行四边形的定义可知，四边形ABCD是平行四边形。
师：一个对角线互相平分的四边形能画出无数个，我们不可能一一测量，因此就需要理论证明。同学们会证明吗？跟着老师一起来看一看。首先要分清命题的条件和结论，条件是一个四边形的对角线互相平分，结论是这是一个平行四边形。再根据小明画的图形写出已知、求证。已知：如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA = OC，OB = OD。求证：四边形ABCD是平行四边形。
如何来证明这个问题呢？小明说用定义可以证明，小红说应该用判定定理来证明，两人争论不休。下面我们一起来帮助他们解决这个问题吧。我们已经学习的平行四边形的判定方法是从对边的数量关系和位置关系来证明的。如何证明四边形的对边相等呢？观察图形，如果证明AB = CD，我们可以尝试着找三角形全等来证明，那么证明哪两个三角形全等呢？根据已知条件，OA = OC，OB = OD，再根据对顶角相等，依据边角边，可以证明△AOB≌△COD，依据全等三角形的性质证出AB = CD。这里也可以证明△AOD≌△COB，证出AD = BC，从而解决了证明四边形对边的数量关系，依据平行四边形的判定方法就可以证出结论了。这里是把四边形的问题转化成三角形的问题来解决。下面跟着老师一起来写出证明过程吧。
根据已知条件，OA = OC，OB = OD，可以证明哪两个三角形全等呢？这里有对顶角相等，∠AOB = ∠COD，依据SAS可以证明△AOB≌△COD，再根据全等三角形的性质得出AB = CD。细心的同学发现，根据另一组对顶角相等证明△AOD≌△COB，证出AD = BC与AB = CD的证明方法相同，写成同理AD = BC。这时我们根据AB = CD，AD = BC，就可以判定四边形ABCD是平行四边形。这里判定的依据是什么呢？
生：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
师：请同学们思考，还有其他证明方法吗？
生：证明三角形全等之后能得到内错角相等，从而证明四边形ABCD的对边的位置关系，因此我们也能用定义或判定定理一来证明。
师：这时我们发现小明和小红的观点都是正确的。以上活动事实我们可以发现一个什么样的结论呢？
生：平行四边形的判定定理三：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
师：请同学们尝试着用几何语言表示定理3。
生：在四边形ABCD中，因为OA = OC，OB = OD，所以四边形ABCD是平行四边形。
师：同学们，定理3的证明与上节课的定理的证明方法是相同的吗？
生：是相同的，都是把四边形转化成三角形的问题来解决。
师：那么在此我们阶段小结一下，现在我们一共有哪些平行四边形的判定方法呢？
生：定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。定理一：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。定理二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。定理三：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
师：通过小结我们知道平行四边形的判定方法已经有4个了，那么在解决实际问题中如何运用呢？下面我们来试一试吧。
已知如图，点E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上两点，且AE = CF。求证四边形BEDF是平行四边形。要证明一个四边形是平行四边形，那么我们就要用到平行四边形的判定方法。以上哪种判定方法能解决这个问题呢？请同学们拿出笔和纸，边分析边证明。
师：同学们准备好了吗？我们一起来试一试吧。点E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上两点，所以我们尝试从对角线的角度来判定一个四边形是平行四边形，连接BD交AC于点O，AC、BD就互相平分了。细心的你会发现BD是两个四边形的公共对角线。这时你又想到了什么？能用这节课所学的定理三证明吗？点O是BD的中点，如何证明点O是EF的中点呢？结合另一个条件，AE = CF，再想一想，依据等式的性质就可以证明OE = OF了。