师：同学们，仔细观察，我们可以发现这些图案都是用一些多边形铺设而成的。接下来大家思考，这些图案有什么共同特征呢？
生：这些图案是由一种或者几种形状相同的图形组成的。
师：非常好，这是第一点。第二点，这些图形不但形状相同，而且大小也一样，也就是全等的图形。第三点，大家有没有发现这些图形与图形之间既无缝隙又没有重叠？
生：发现了。
师：对，在这里，我们用形状相同或者不同的平面封闭图形，覆盖平面区域，使图形间既无缝隙又不重叠地全部覆盖，在几何里，我们把它叫做平面镶嵌。大家要注意，平面镶嵌的条件是既无缝隙又无重叠。同学们，你们能举出生活当中平面镶嵌的例子吗？
生：家里地板的图案，人行道上地砖的铺设图案，还有房间里墙壁上的花纹图案。
师：很好。接下来我们就用所学知识解决一个问题，小明家装修地板，在正三角形、正方形、正五边形、正六边形瓷砖中只能选择一种，你们认为哪些可以供他选择呢？接下来我们就来探究用一种边长相同的正多边形进行平面镶嵌。同学们可以拿出课前老师让你们准备的这4种正多边形的硬纸片若干个，和老师一起拼一拼。首先我们拿出正三角形，大家拿出了几个正三角形呢？
生：六个。
师：好，我们一起来看如何拼接。我们发现在一个拼接点处有六个正三角形，我们知道每个正三角形的每一个内角都是60度，那么6个角的和是多少？
生：360度。
师：也就是一个周角。而且仔细观察这个图形，既无缝隙又没有重叠，所以我们可以知道正三角形是可以进行平面镶嵌的。那接下来大家拿出正方形纸片，这个我认为很简单，大家都能拼接成几个？
生：四个。
师：在同一个拼接点处，我们用四个正方形进行了平面镶嵌，我们知道每个正方形一个内角是90度，四个内角也就是360度，同样形成了一个周角，所以正方形也是可以进行平面镶嵌的。接下来大家拿出正六边形，大家认为正六边形可以进行平面镶嵌吗？
生：可以。
师：为什么？
生：正六边形每一个内角都是120度。
师：那需要选择用几个正六边形进行镶嵌呢？
生：三个。
师：是的，我们一起来看拼接之后的图形。好的，现在大家只剩下什么图形啦？
生：正五边形。
师：大家预测一下正五边形能不能完成平面镶嵌？
生：有人认为能，也有同学认为不能。
师：在进行拼接之前，我们首先要知道正五边形一个内角的度数是多少。
生：108度。
师：那准备选择几个正五边形进行拼接呢？
生：有人说三个。
师：我们一起来看，如果选择用三个正五边形拼接之后的图形，咦？我们发现了什么情况？
生：此时有缝隙。
师：此时有没有完成平面镶嵌？
生：没有。
师：刚才我们讲到平面镶嵌的定义是既无缝隙又不重叠，在这里出现了缝隙，所以不能称之为平面镶嵌。那能不能用4个正五边形来进行拼接呢？我们再来看一下，大家发现了什么？又出现了什么现象？
生：此时图形当中有重叠。
师：这也与刚才讲到的平面镶嵌的定义矛盾了，所以我们能下一个什么样的结论呢？
生：正五边形无论是用3个还是用4个都不能进行平面镶嵌，正五边形不能进行平面镶嵌。
师：接下来我们把刚才的拼图过程汇总成一张表格，大家能一目了然。首先我们对正三角形进行平面镶嵌，发现用6个正三角形可以进行平面镶嵌。接下来选择正方形，用四个正方形可以进行平面镶嵌。再接着用正六边形，选择三个正六边形完成了平面镶嵌。而最后正五边形，无论是三个还是四个都没有完成平面镶嵌。由此我们提出以下问题需要大家思考。第一个问题，多边形镶嵌时，在一个顶点处各个角的和必须等于多少度呢？
生：360度。
师：这其实就是多边形能进行平面镶嵌的条件。第二个问题，当正多边形的一个内角满足什么条件时，这种正多边形就能够进行镶嵌。我们回顾一下，正三角形能镶嵌，因为它的每个内角都是60度；正方形能进行平面镶嵌，因为它的每个内角都是90度；正六边形可以进行平面镶嵌，它的每个内角都是120度；而正五边形由于它的每个内角是108度，所以没有完成平面镶嵌。由此我们能得到什么规律呢？
生：当正多边形的一个内角的度数能被360度整除时，这种正多边形就可以进行平面镶嵌。
师：那么接下来你还能找到其他能镶嵌的多边形吗？我们回顾一下本章第一节讲到的多边形的内角和，我们知道对于一个n边形，它的内角和等于多少？
生：（n - 2）×180度。
师：对于一个正多边形，它有n个角，并且每个内角都相等，那么正n边形的每一个内角的度数又该怎么表达呢？
生：$\frac{(n - 2)×180}{n}$度。
师：那么在这里我们不妨设在一个顶点处，有k个正n边形的角，则有什么样的等式成立呢？
生：$k×\frac{(n - 2)×180}{n}=360$度。
师：这个式子比较复杂，大家能不能把它化简一下？怎么化简？
生：在这个等式的两边首先同时约去180度，式子就变成了$k×\frac{n - 2}{n}=2$。
师：这是一个分式形式，还不是很简单。大家能不能把它整理成整式的形式呢？
生：整理成整式形式就是$k(n - 2)=2n$。
师：在这里我们要求的是k，那k又该如何表示呢？
生：$k=\frac{2n}{n - 2}$。
师：在这里分子分母当中都有n，对于取值比较困难，接下来我们可以把分子继续变形一下，就得到了这种形式。好，接下来我们还可以继续变形一下，就变成了$k=\frac{2n - 4 + 4}{n - 2}=\frac{2(n - 2) + 4}{n - 2}=2 + \frac{4}{n - 2}$这种比较简单的形式了。接下来我们要讨论一下n的取值范围。我们知道n是大于等于3的正整数，所以我们能得到什么样的结论？