师：同学们好，今天我们要一起学习的内容是第20章第二节“数据离散程度的应用”第7课时。首先，让我们来一起回顾上节课学习的内容。第一个问题：什么是方差？
生：如果一组数据x₁，x₂，……，xₙ，它们的平均数是x̄，那么s² = 1/n [(x₁ - x̄)² + (x₂ - x̄)² + … + (xₙ - x̄)²] 叫做这组数据的方差。
师：很好。从公式中我们不难看出，要想计算方差，首先要计算这组数据的平均数，再把得到的平均数代入公式进行运算。第二个问题：一组数据的方差与这组数据的离散程度有怎样的关系？
生：方差是衡量一组数据离散程度的特征数。方差越大，说明这组数据的离散程度越大；方差越小，说明离散程度越小。
师：正确。在实际问题中，我们常常无法考察总体中的所有个体——可能因为个体数量太多，甚至无限，也可能因为某些实验带有破坏性，比如测试灯泡的使用寿命。因此，统计中通常采用从总体中抽取样本，通过对样本数据的分析来估计总体情况。用样本估计总体是统计的基本思想。在解决问题时，与用样本平均数估计总体平均数一样，我们也常用样本的方差来估计总体的方差。
请看例一：为了比较甲、乙两个新品种水稻的产品质量，收割时各抽取了5块条件相同的试验田，分别称得它们的产量（单位：吨/公顷）如下表所示。问题一：哪个品种平均每公顷的产量较高？问题二：哪个品种的产量较稳定？
由于甲、乙两个品种的产量包含的个体数太多，不可能一一考察，因此我们需要通过比较它们在试验田中的产量和稳定性，来估计它们在这一地区的表现。这实际上就是用样本的平均数和方差估计总体的平均数和方差。
我们先来解决第一个问题。可以把甲、乙在试验田的产量各看作一个样本，用样本平均数估计总体平均数。先计算甲组数据的平均数：
x̄甲 = 1/5 × (12.6 + 12 + 12.3 + 11.7 + 12.9) = 12.3（吨）
同样，x̄乙 = 1/5 × (12.3 + 12.3 + 12.3 + 11.4 + 13.2) = 12.3（吨）
我们发现 x̄甲 = x̄乙，即两个样本的平均数相等。因此可以估计，甲、乙两个品种平均每公顷的产量是一样的。
再来看第二个问题：哪个品种的产量较稳定？产量是否稳定与数据的离散程度有关，所以需要计算两个样本的方差，用样本方差估计总体方差。
将平均数代入方差公式：
s²甲 = 1/5 × [(12.6-12.3)² + (12-12.3)² + (12.3-12.3)² + (11.7-12.3)² + (12.9-12.3)²] = 0.18
s²乙 = 1/5 × [(12.3-12.3)² + (12.3-12.3)² + (12.3-12.3)² + (11.4-12.3)² + (13.2-12.3)²] = 0.324
因为 s²甲 < s²乙，所以估计甲品种的产量更稳定。
师：接下来我们做一道练习。
练习一：在对某玉米品种进行考察时，农科所从一块试验田里随机抽取了15株玉米，称得各株产量（单位：千克）如下：0.25，0.16，0.12，0.18，0.14，0.17，0.13，0.15，0.16，0.11，0.14，0.19，0.16，0.12，0.10。请估计这块试验田每株玉米产量的方差。
生：由于试验田玉米株数很多，很难一一考察，所以需要用样本方差估计总体方差。先计算样本平均数：
x̄ = 1/15 × (0.25+0.16+0.12+0.18+0.14+0.17+0.13+0.15+0.16+0.11+0.14+0.19+0.16+0.12+0.10) = 0.152（千克）
再计算方差：
s² = 1/15 × [(0.25-0.152)² + (0.16-0.152)² + … + (0.10-0.152)²] ≈ 0.0014（千克²）
所以估计这块试验田每株玉米产量的方差约为0.0014平方千克。
师：很好。再看练习二：从甲、乙两名工人生产的同一种零件中各随机抽取4个，测得直径（单位：毫米）如下：甲：10.00，10.01，9.98，10.01；乙：10.02，9.97，10.03，9.98。谁做的零件直径差异较小？
生：要判断差异大小，需比较方差。先计算平均数：
x̄甲 = 1/4 × (10.00+10.01+9.98+10.01) = 10.00（毫米）
x̄乙 = 1/4 × (10.02+9.97+10.03+9.98) = 10.00（毫米）
再计算方差：
s²甲 = 1/4 × [(10.00-10.00)² + (10.01-10.00)² + (9.98-10.00)² + (10.01-10.00)²] = 0.0002（毫米²）
s²乙 = 1/4 × [(10.02-10.00)² + (9.97-10.00)² + (10.03-10.00)² + (9.98-10.00)²] = 0.00045（毫米²）
因为 s²甲 < s²乙，所以估计甲做的零件直径差异较小。