师：同学们好，这节课我们继续学习勾股定理。直角三角形是特殊的三角形，它有哪些性质呢？我们从三个方面来总结。
首先是边的关系，勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系。用文字表述为：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。用数学符号表示为：如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，则a2 + b2 = c2。
其次是角的关系，直角三角形有一个角是直角，即∠C = 90°。因为三角形内角和是180°，所以可以得出：直角三角形两锐角互余，表示为∠A + ∠B = 90°。
最后是边角关系，在直角三角形中，30°角反映了它所对的直角边与斜边之间的数量关系。即直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，用数学符号表示为：在Rt△ABC中，∠C = 90°，若∠A = 30°，则a = 1/2 c。勾股定理是初中数学非常重要的定理，它密切联系了数学中两个最基本的量——数与形，能够把形的特征转化成数量关系，堪称数形结合的典范。
好，我们继续学习勾股定理。来看例一，已知如图，在Rt△ABC中，请同学们在图形中找到Rt△ABC。直角边长AC = 5，BC = 12，题目让我们求斜边上的高CD的长。通过前两节课的学习，我们知道已知直角三角形的任意两边，都可以利用勾股定理求出第三边。现在请同学们帮老师求出直角三角形ABC斜边AB的长，应该是13。题目让我们求高，这让我们自然想到三角形的面积公式。
三角形面积S = 1/2 × AB × CD，AB我们已经求出来是13。如果能确定△ABC的面积，就能求出CD的长。请同学们观察题目条件，我们能否确定△ABC的面积呢？可以，因为直角三角形的面积可以表示为两直角边长乘积的一半，也就是30，这样我们就可以求CD的长。
好，我们来看这个题的解题过程。在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB2 = 169，AB是169的算术平方根，等于13。又因为△ABC的面积既可以表示为两直角边乘积的一半，又可以表示为斜边与斜边上的高乘积的一半。由于AC、BC已知，AB已求出，所以可以求出CD的长。从这个题的结果我们发现，直角三角形斜边上的高与两直角边及斜边之间存在数量关系，即斜边上的高等于两直角边长的积与斜边长的商。这种求直角三角形斜边上高的方法叫面积法。那么这个问题有没有其他解决办法呢？
我们认真观察这个图形，请同学们在图形中找到题目让我们求的量CD，CD是直角三角形ACD的直角边，请同学们找到Rt△ACD。要想表示出CD，显然需要AD的长，而AD是个未知量。现在请同学们找到Rt△BCD，CD是它的一条直角边。要想在这个三角形中表示CD，需要BD的长，BD也是个未知数。那大家观察一下AD和BD之间是否存在数量关系，它们的和是13。如果设AD的长为x，那么BD的长可以表示为13 - x。
现在请同学们找到Rt△ACD，我们就可以用含x的代数式表示出CD2，即52 - x2；找到Rt△BCD，也可以用含x的代数式表示出CD2，即122 - (13 - x)2。这样一来我们就可以得到一个方程，解这个方程就能求出x的值，然后再利用勾股定理就能求出CD的长。
我们来看这个题的解题过程。设AD = x，则BD = 13 - x。在Rt△ACD中表示出CD2，在Rt△BCD中表示出CD2，进而构建方程，解得x = 25 / 13。利用勾股定理求出CD的长等于60 / 13。这种方法的思路在于两个直角三角形中如果有一条公共的直角边，可利用勾股定理建立方程求解，充分体现了方程思想。
我们来看练习的第一题，如图，在甲村到乙村的公路旁，有一块山地正在开发，现有一处需要爆破。已知点A与公路上的停靠站B、C的距离分别为400米和300米。我们来看一下这个图形，甲村、乙村这边的山地正在开发，爆破点在A点，A到B的距离是400米，A到C的距离是300米，且AC与AB垂直。为了安全起见，如果爆破点A周围半径250米的区域内不能有车辆和行人。请同学们想一想，点A周围半径250米的区域是什么范围？点A周围半径250米的区域应该是以点A为圆心，以250米为半径的圆，这个区域内不能有车辆和行人，也就是说这个区域是危险区域。
问，在进行爆破时，公路BC段是否需要暂时封闭？这句话的含义是公路BC段是否会出现在危险区域，当在A处爆破时产生的冲击力可能会影响到BC段的各个位置。为了便于观察，我们找出其中几个点的位置。直观来看，离点A越远的点越安全，离点A越近的点越危险，那离点A最近的点就应该是最危险的位置。如果能找到这个点，而且这个点到点A的距离大于250米就是安全的，这段公路就不需要封闭；如果这个点到点A的距离小于或等于250米，那这个位置就在危险区域之内，我们就要考虑封闭这段公路。
解决这个问题的关键是如何在这段公路上找到离点A最近的点。过点A作AD垂直于BC，点D就是这条公路上离点A最近的点，理论依据是直线外一点与直线上各点连接而成的所有线段中，垂线段最短。这个时候我们就需要求出AD的长与250进行比较，这个问题就转化成了如何求直角三角形斜边上的高。请同学们在图形中找到Rt△ABC，已知两直角边长，我们可以用勾股定理求出斜边BC的长是500米。再利用直角三角形斜边上的高等于两直角边长的积与斜边长的商，进而求出AD的长应该是240米。