师：各位同学大家好，今天我们一起学习第20章第二节“用样本去估计总体”的第四课时。在正式开始前，我们先来探究一个问题。某园艺场采摘苹果，边摘边装箱，共装了2000箱。苹果市场收购价是4元每千克，现在要估计这2000箱苹果的销售收入。因为苹果单价已知，所以我们只需估计出2000箱苹果的总质量。那怎么得出这2000箱苹果的总质量呢？
方法一，采用全面调查，也就是一箱箱地称，再根据总质量估计销售收入。方法二，采用抽样调查。比如，园艺场从中任意抽取10箱苹果，称出它们的质量，数据如下：16千克、15千克、16.5千克、16.5千克、15.5千克、14.5千克、14千克、14千克、14.5千克、15千克。首先，我们来算它们的平均数。
[
\overline{x} = \frac{1}{10}×(16 + 15 + 16.5 + 16.5 + 15.5 + 14.5 + 14 + 14 + 14.5 + 15) = 15.15 \text{（千克）}
]
然后把这个平均数作为每箱苹果的平均质量，由此估计这2000箱苹果的销售收入约为：
[
4×15.15×2000 = 121200 \text{（元）}
]
大家思考一下，用这两种方法估计销售收入各有什么优缺点呢？
生：方法一采用普查，数据准确，但耗时费力；方法二采用抽样调查，省时省力，但数据不够准确。
师：非常好。所以在现实生活中，如果对数据要求不是十分精准，我们可以采取抽样调查。大家再思考刚才例题中所采用的方法二，是如何解决问题的？体现了怎样的统计思想？
生：体现了从总体中抽取样本，通过对样本的整理分析去估计总体情况的统计思想。
师：对，这就是我们这节课要重点研究的“用样本去估计总体”。下面看这个问题，某灯泡厂为测量一批灯泡的使用寿命，从中抽查了100只灯泡，它们的使用寿命如下表所示，这批灯泡的平均使用寿命是多少呢？在解答前，老师问大家，刚才估算2000箱苹果重量的问题，既可以普查也可以抽样调查，那这道灯泡实验问题也能用这两种方法吗？
生：不能，因为探究灯泡平均使用寿命的实验具有破坏性，无法采用普查，比较合适的方法是利用样本去估计总体。
师：对。那具体怎么做呢？根据题意：
[
\overline{x} = \frac{800×10 + 1200×19 + 1600×25 + 2000×34 + 2400×12}{100} = 1676
]
即样本平均数为1676，由此可以估计这批灯泡的平均使用寿命大约是1676小时。通过这个练习，我们可以得出，当要考察的对象很多，或者考察本身带有破坏性时，统计学中常常使用样本数据的代表意义估计总体的方法来获得对总体的认识。
再看这道例题。某单位共有280位员工参加社会公益捐款活动，从中任意抽取12位员工的捐款数额记录如下：捐款30元的有2人，捐款50元的有5人，捐款80元的有3人，捐款100元的有2人。请估计该单位的捐款总额。
生：首先计算这12位员工捐款数额的平均数：
[
\overline{x} = \frac{1}{12}×(30×2 + 50×5 + 80×3 + 100×2) = 62.5 \text{（元）}
]
然后估计该单位的捐款总额约为：
[
62.5×280 = 17500 \text{（元）}
]
师：很好。通过这个例题，我们知道现实生活中总体平均数一般难以计算出来，通常我们可以用样本平均数估计总体平均数。再看下面这道题。
某班45名学生的体重数据如下。首先，请大家选中第9列的数据作为样本，计算它的平均数。
[
\overline{x} = \frac{51 + 57 + 48 + 62}{5} = 53.8
]
下面再请大家选中第3、6、9共3列的数据作为样本，计算它的平均数。这里共有15个数据：
[
\overline{x} = \frac{42 + 51 + 52 + 41 + 60 + 45 + 55 + 57 + 50 + 61 + 51 + 51 + 57 + 48 + 62}{15} = 52.2
]
第三个小问题，再选第2、3、5、6、8、9共6列的数据作为样本，计算它的平均数。
[
\overline{x} = \frac{（将这30个数据相加）}{30} = 51.4
]
老师已经算出这45名学生体重的总体平均数约为50.7。大家结合上面三个小练习，对照总体平均数，有什么发现？
生：用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计越精确。
师：非常好。由此我们得出结论，一般来说，用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计越精确，但相应地，搜集、整理、计算数据的工作量也越大。所以在实际工作中，样本容量既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性和所付出代价的大小。下面我们做一组练习。