师：通过最近一段时间的学习，同学们学到了许多平行四边形、矩形、菱形、正方形的相关知识。这节课我们一起来细细品味这些图形以及知识点之间的联系。同学你好，很高兴和你一起来学习数学。通过本节课的学习，希望你能有以下收获：一、能自己绘图表示四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的演变关系和从属包含关系；二、能结合演变关系和从属包含关系，理清平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义、性质和判定；三、能合理选择边角途径或对角线途径判定一个四边形是特殊四边形。
生：老师，我感觉最近学习的定义、性质、判定特别多，有的时候记不住，有的时候用起来还会混淆，我想问您有没有什么好的方法分清它们？
师：好的，屏幕前的同学，你是不是也有类似的困惑？平行四边形、矩形、菱形、正方形它们的定义、性质和判定确实非常多。要分清它们，老师建议你从它们的演变关系入手。
请看，这是一个一般的四边形，当它的两组对边分别平行时，就演变成了平行四边形。两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。这个平行四边形如果再提个要求，使它的一个内角变成直角，那么这个平行四边形就变成什么了呀？
生：变成了矩形。
师：对，有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。这个平行四边形我们使其一组邻边变得相等，那么这个平行四边形就演变成了什么？
生：菱形。
师：没错，有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。所以说矩形、菱形都是特殊的平行四边形。这个矩形ABCD，我们使其一组邻边变得相等，那么就得到了正方形。这个菱形的四条边全都是相等的，我们让角A变成直角，那么它也变成了正方形。也就是说要想把平行四边形演变为正方形，让它有一个角是直角，且有一组邻边相等即可。因此有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形，叫做正方形。
理解了演变关系，我们就理解了平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义，理解了演变关系，我们也就能自然而然地推出它们之间的从属包含关系。四边形增加了两组对边分别平行的限制条件，就变成了平行四边形。平行四边形和四边形之间有什么关系呢？
生：平行四边形是特殊的四边形，四边形包含了平行四边形。
师：同样的道理，矩形和平行四边形之间也有类似的从属包含关系，所以矩形包含于平行四边形，菱形也包含于平行四边形。矩形和菱形为什么中间会出现公共部分呢？
生：因为正方形既是特殊的矩形又是特殊的菱形，所以这个公共部分就是正方形。
师：同学可能会问了，我的问题是那么多定理记不清，你给我讲从属包含关系有用吗？当然有用，不管是数学领域还是生活领域，一个特殊的事物除了具有一般事物的所有性质，还有其特殊的性质。举个例子来说，小垂同学是北京大学的学生，那么小垂就具有北大学生的一般特点，如学习效率高、学习成绩好等。但是小垂作为北大的一个特殊学生，他也有他自己的特点，如风趣、幽默、长得帅等等。
平行四边形是特殊的四边形，那么它就具有一般四边形的所有性质，比方说内角和360度，平行四边形还有自己的特殊性质，平行四边形的对边相等，平行四边形的对角线互相平分。平行四边形的性质搞清楚了，再到矩形、菱形就更好记了。矩形是特殊的平行四边形，那么它具有平行四边形的所有性质，不仅包括这四条，还包括内角和360度等。矩形是特殊的平行四边形，它也有它自己的特殊性质。矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等。那我们在记矩形的性质时，只要把精力主要放在这两条上就行了。同样的道理，菱形也具有平行四边形的所有性质。记菱形的性质时，我们只要把精力主要放在菱形的四条边相等，菱形的对角线互相垂直上就行。
正方形既是特殊的平行四边形，又是特殊的矩形还是特殊的菱形，那么它就具有图中列出的所有性质。正方形有没有什么特殊的性质呢？我们都知道正方形的两条对角线做出来之后，图中会出现许多等腰直角三角形，那么这个图中就会出现许多45度的角，结合勾股定理的知识，我们可得正方形的对角线长是其边长的根号二倍，正方形的边长是其对角线一半的根号二倍等等。这样的话，我们就把平行四边形、矩形、菱形、正方形的诸多性质浓缩到一张图形中了。当然，如果我们在学习中累积了它们的新性质，也可以将其添在这张图的合适位置。
比方说，我们曾归纳过平行四边形被对角线分成的四个小三角形面积相等，相邻两个三角形的周长之差等于邻边之差，这一性质矩形、菱形、正方形也都具备。再比如，菱形的面积等于对角线乘积的一半，这条性质菱形具备，正方形也就具备，但是一般的矩形和一般的平行四边形就不一定具备了。不过这条性质其实不是菱形的特有性质，只要对角线互相垂直的四边形就会具有。
我们从演变关系入手，首先得到了平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义，然后又推出从属包含关系，理清了它们的诸多性质。不仅如此，通过演变关系，我们还能理清它们的判定。定义本身就是判定，所以这四个定义本身就分别是它们的判定方法。要判定一个四边形是平行四边形，除了定义之外，我们还有这样的一些判定方法。一般的平行四边形的对角线如果满足相等的条件，它就是矩形，对角线如果互相垂直，它就是菱形。如果直接从四边形变成矩形，需要满足有三个角是直角，而从四边形到菱形，需要满足四条边都相等。矩形的对角线满足互相垂直的条件，菱形的对角线满足相等的条件，都能判定其为正方形。我们还可以结合演变关系构造特殊四边形的判定方法。以正方形的判定方法为例，如果要判定一个四边形是正方形，选择从左到右的任何一条主线都可以，而每一条主线都能构造出不止一种判定方法。比方说走图中红色的主线，先证这个四边形是平行四边形，有四种选择，再由正方形的定义证明这个平行四边形是正方形即可。这样我们就把正方形的判定方法搞活了，但是有点多，为了简化起见，我们可以将其建立在旧知识的基础上，总结如下：一、先判定它是平行四边形，再通过定义或对角线互相垂直且相等来判定它是正方形；二、先判定它是矩形，再通过有一组邻边相等或对角线互相垂直来判定其为正方形；三、先判定它是菱形，再通过有一个直角或对角线相等来判定其为正方形。当然，如果我们证得该四边形既是矩形又是菱形，那么它也是正方形。以上我们结合演变关系和从属包含关系，把平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义、性质、判定都简明地梳理清楚了。还不太清楚的同学可以尝试课后自己在草稿纸上把刚刚在屏幕上看到的给画出来，画图的过程中，你一定会对它们有更深刻的认识。不仅如此，像这样抓住问题之间的联系来分析问题的方法也可以应用到解决其他数学问题甚至是现实生活的问题中去。
生：老师，平行四边形、矩形、菱形、正方形这部分知识在解决问题时有什么一般方法和规律吗？
师：本章的许多性质定理的证明都是把四边形的问题转化为三角形的问题来解决的。在我们解决平行四边形、矩形、菱形、正方形的问题时，也常常是通过三角形的全等来分析的。所以我们在学习三角形的时候总结的解题规律到了解决四边形的问题时仍然有用。要说新知识下新的解题规律，老师想说这么一点，就是特殊四边形的判定方法中，有的是有关边角方面的，有的是有关对角线方面的，我们该怎么选择呢？我先说我们不管是选择边角途径还是选择对角线途径，往往都能解决问题，而相比之下，就有一种会简单一点，另一种会复杂一点。怎么能一下子就选出简单的方法呢？那就要具体问题具体分析，不过一般情况下，如果题面或图形中都没有给出对角线，那我们就首选边角的途径去分析。如果题面或图形中给出了对角线，那我们就首选对角线的途径去分析。结合具体的例子来看，大家还记得《周髀算经》里的弦图吗？我国古代数学家赵爽在《周髀算经》的注释中利用弦图证明了勾股定理。如图所示，在自己利用4个全等的直角三角形拼弦图的过程中，我们能保证线段AE与AF在同一直线上，同样的线段BF与BG，CG与CH，DH与DE分别都在同一直线上。