师：坚持努力每一天，线上学习不掉队。同学们好，今天这节课我们继续探究特殊四边形的相关内容。上节课我们梳理了矩形、菱形、正方形这些特殊四边形的定义、性质，它们之间的从属、包含关系以及判定方法，可以从边角途径或对角线途径来判定一个四边形是特殊四边形。希望通过本节课的学习，大家能有以下收获：一、理清四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属包含关系，熟记性质以及判定方法；二、灵活运用特殊四边形的性质解决相关问题，合理选择边角途径或对角线途径，判定一个四边形是特殊四边形；三、利用正三角形和正方形的性质判定三角形全等，得到边角关系。请同学们坐好，准备好学习用具，开始今天的新课。
上节课我们了解了由一般四边形演变为特殊四边形的过程。正方形具有矩形、菱形的所有性质。要判定一个四边形是矩形，可以通过平行四边形的路径，或直接证明有三个角是直角。判定一个四边形是菱形，也可以通过平行四边形的路径，或证明四边都相等。要证明正方形，可以由矩形或菱形判定，或由平行四边形判定得到。学以致用，接下来结合实际问题看一看。
例一，如图，已知锐角三角形ABC中，以AB、AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接CE、BG，求证EC = BG。要证明EC和BG这两条线段相等，该采用什么方法呢？先看条件，题中四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，可得四条边都相等，四个角都是直角。首先观察边，有AB = AE，AC = AG。发现AB、AG、BG三边构成三角形ABG，AE、AC、EC三边构成三角形AEC。此时可以想到利用三角形全等证明对应边相等。已经有两组对应边相等，第三边是要求证相等的，因此考虑可否利用边角边来证明三角形全等。角EAC和角BAG二者相等吗？在正方形ABDE和正方形ACFG中，AB = AE，AC = AG，且角EAB = 角GAC = 90度。角EAC = 角EAB + 角BAC，角BAG = 角CAG + 角BAC。根据正方形的性质，角EAB = 角GAC = 90度，所以角EAC = 直角 + 角BAC，角BAG也 = 直角 + 角BAC，故可得角EAC = 角BAG。所以三角形EAC全等于三角形BAG，根据这两个三角形全等得出对应边EC = BG。本例中我们利用正方形的性质，边相等、角相等，结合三角形全等的知识证明得出了线段相等的结论。
如果例一中的正方形换成正三角形，结论还成立吗？如图，已知锐角三角形ABC中，以AB、AC为边向外作正三角形ABD、正三角形ACE，连接BE、CD，求证BE = CD。结合例一，我们想到是否还能证明BE和CD两边所在的三角形ABE和三角形ADC全等，不妨试一试。由正三角形ABD、正三角形ACE得出，边AB = AD，AC = AE。AB与AE两边的夹角BAE、AD与AC两边的夹角DAC是否相等呢？因为角BAE = 角BAC + 角CAE，角DAC = 角BAC + 角DAB。根据正三角形的性质，角CAE = 角DAB = 60度，所以角BAE = 角DAC。
证明过程如下：在正三角形ABD和正三角形ACE中，AB = AD，AC = AE，角BAE = 角DAC，所以三角形ABE全等于三角形ADC，所以BE = CD。这样我们同样利用正三角形性质结合全等知识证明了对应边相等。这两个问题都是利用正方形和正三角形的边相等、角相等，结合条件构造全等三角形。
同学们，如果在上题的基础上再添一个正三角形，结论还成立吗？下面我们一起看看例2。
例2，如下图所示，在三角形ABC中，分别以AB、AC、BC为边，在同侧作正三角形ABD、正三角形ACE、正三角形BCF，求证四边形DAEF是平行四边形。同学们，我们该走边角途径还是对角线途径呢？证明四边形DAEF是平行四边形，结合题目没有给出对角线的信息，所以我们选择走边角途径，证明两组对边的关系，两组对边要么得出平行，要么得出相等。这里我们该选择哪种思考路线呢？遇到这样的困惑时，不要着急，回到题目中。三角形ABD、三角形ACE、三角形BCF这三个三角形都是正三角形，边分别相等，求证的四边形四条边分别是AE、DF、AD、EF。从题目中没有发现与平行有关的条件，所以可以确定证明对边相等。
AE是正三角形ACE的边，DF不是正三角形的边。AD是正三角形ABD的边，EF不是正三角形的边，这两组对边的情况是一样的。所以先尝试证明AE = DF。不能直接得出结论，但由前面分析知道AE = AC = CE，那是否可以转化成证明DF = AC或CE？联想例一，再看图，可以想到利用三角形全等的知识。比如证明DF = AC，DF在三角形DBF中，AC在三角形ABC中，其中BD = BA，BF = BC。只要证明夹角DBF = 角ABC即可。
这两个角如何证明相等呢？结合图思考，角DBF在角ABD中有角DBF + 角FBA = 角ABD = 60度，角ABC在角FBC中，角ABC + 角FBA = 角FBC = 60度，所以得到角DBF = 角ABC。问题逐一解决了，就可以利用全等知识证明边相等。具体步骤如下：
由三角形ABD和三角形FBC都是正三角形，可以得到角DBF + 角FBA = 角ABC + 角FBA = 60度，所以角DBF = 角ABC。又因为BD = BA，BF = BC，所以三角形ABC全等于三角形DBF，所以AC = DF = AE。同理可证三角形ABC全等于三角形EFC，所以AB = EF = AD。所以根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，判定得出四边形DAEF是平行四边形。
这样我们就通过边角路线证明了四边形DAEF是平行四边形。第二问，探究当三角形ABC满足什么样的条件时，能使四边形DAEF是矩形。