师：同学们，本章新课部分的学习已经全部结束。课前老师要求大家对本章知识进行梳理，你们完成了吗？这里老师选取了两份优秀作业，我们一起来欣赏。第一位同学由一般到特殊，层层演变，总结得简洁完整；第二位同学则是一一列举，表述得详细清晰。
有的同学可能会抱怨本章需要记住的性质、定理太多，更害怕遗漏或混淆。其实，只要了解由一般到特殊的演变过程，掌握类比分类的思想，再多的知识也能了然于胸。
本章之前，我们学习的封闭图形只有三角形，但仅靠三角形的知识无法满足对现实世界的探索需求。于是，我们对封闭图形的边进行扩充，得到了多边形。三角形的学习为后续研究其他多边形提供了充分的理论依据和方法参考，比如类比三角形的定义，能轻松得出多边形的定义。
在探究多边形内角和时，通过辅助线将多边形分割成若干个三角形，利用三角形内角和定理推出多边形内角和公式：(n - 2)×180° 。接着推理发现，任何多边形的外角和均为360°。各边各角均相等的多边形称为正多边形，像我们熟悉的正三角形、正六边形等。生活中常利用正多边形进行平面镶嵌，拼出各种美丽图案。当然，普通多边形也能用于平面镶嵌，但要保证既无缝衔接又不重叠。
下面我们来看这样一个例题：一个正多边形，每个内角是外角的两倍。第一小问，求这个多边形的边数，同学们可以尝试不同解法。既然每个内角是外角的两倍，不妨设每个外角的度数为x，则每个内角的度数为2x。根据平角的定义，可列方程x + 2x = 180°，解得每个外角的度数为60°。因为任何多边形的外角和均为360°，且正多边形每个外角的度数相等，所以用360°除以60°，得到边数n = 6，这是一个正六边形。
当然，本题也可以从内角和的角度出发来解决，还可以采用整体的方法。既然每个内角都是外角的两倍，那么这个多边形的内角和必然也是外角和的两倍，两个360°即720°，代入多边形内角和公式同样能轻松得到边数n = 6。
接着看第二小问，单独使用正(n - 1)边形，也就是单独使用正五边形（因为第一小问求出n = 6），可以进行平面镶嵌吗？请说明理由。通过平面镶嵌的学习，我们知道主要看这个多边形的内角能否无缝拼接得到360°。根据前面所学知识，可算出正五边形的内角为108°。通过计算发现，360°不能被108°整除，所以单独使用正五边形不可以进行平面镶嵌。
四边形是特殊的多边形，它不仅和三角形一样有边角元素，还有两条对角线。本章从这几个方面重点研究一种特殊的四边形——平行四边形。类比其他几何知识的学习，我们知道要从定义、性质、判定三个方面进行探究。
顾名思义，两组对边分别平行的四边形就是平行四边形。平行四边形的定义既体现了它边的性质特征，同时也可作为一条判定方法。接着，我们从边角、对角线三个方面阐述了平行四边形的三条性质：平行四边形的对边相等，平行四边形的对角线互相平分。
经验告诉我们，判定方法与性质常常是互逆的，平行四边形的性质与判定也有这样的特征。比如平行四边形的性质一与判定定理二，性质3与判定定理三，它们都是互逆的。其中判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，是对平行四边形同一组对边在位置和大小上的重复强调，希望同学们在理解的基础上记忆。
可能有的同学会问，平行四边形的性质二，为什么它的逆定理没有作为判定方法呢？其实在课后习题中会发现，两组对边分别相等的四边形确实也是平行四边形，但由于角的大小通过平行线的判定往往可转化为边的位置关系，所以这里没必要重复累计。
接着对平行四边形的边或角进一步演化，得到三种特殊的平行四边形：有一个角是直角的平行四边形是矩形；有一组邻边相等的平行四边形是菱形；既满足有一个角是直角，又有一组邻边相等的平行四边形是正方形。我们发现正方形既是矩形也是菱形，它们三者同时满足平行四边形的所有性质，同时也都有自己特有的性质。
矩形的特殊性体现在角上，所以它的四个角都是直角。正是因为这一形状的变化，导致它的对角线相等这一数量关系，这里体现了由形到数。而菱形的特殊性在于边，所以它具有四条边都相等的性质。也正是因为它在边上这种数量的特征，导致它的对角线互相垂直这一形状变化，这里又体现了由数到形。由此可见，数与形是可以相互转化的。正方形由于既是矩形又是菱形，所以它满足矩形和菱形的所有性质。
接着看它们的判定，同平行四边形一样，它们的定义都可作为判定方法之一。同时，它们各自的两条性质相应的逆命题又构成了各自的两条判定定理，这方便我们理解和记忆。其中矩形的判定定理一只指出三个角是直角即可，因为四边形内角和为360°，只要三个角是直角，剩下的那个角也就是直角了，所以只需指出三个角是直角的四边形就是矩形。同样，对于正方形的判定，方法很多，不需要一一列举，也不用死记硬背，同学们只要把控一点，即既能证出它是矩形，又能证出它是菱形就可以。