师：同学们好，请大家做好课前准备，今天我们一起来学习第17章一元二次方程小结与评价。在前面的学习中，我们学习了一元二次方程的相关概念、解法、根的判别式、根与系数关系和应用。今天我们就从这5个方面进行详细复习。
首先回顾一元二次方程的相关概念。通过学习，我们知道一元二次方程是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，它的一般形式为$ax^2 + bx + c = 0$（$a$、$b$、$c$都是实数，且$a≠0$）。其中$a$叫做二次项系数，$b$叫做一次项系数，$c$叫做常数项。
下面我们利用几个例题来巩固以上概念。例一，下列方程中是一元二次方程的是哪一个？同学们先思考一下。判断一个方程是否为一元二次方程，需要抓住定义中的三个要素：一元、二次和整式。
a选项中，$\frac{1}{x^2} + x - 2 = 0$，它包含$\frac{1}{x^2}$这一项，$\frac{1}{x^2}$是一个分式，所以该方程不是整式方程。
b选项，很明显方程中包含两个未知数$x$和$y$，所以方程不是一元方程。
再看c选项，可能有的同学会选c，因为它看上去像一个一元二次方程，这里不是有二次项吗？但是我们将方程整理后发现，方程化简之后得到$5x - 4 = 0$，这是一个一元一次方程，并不是我们要求的一元二次方程。
最后看d选项，方程中包含一个未知数$x$，并且$x$的最高次数是二次。可能有同学会说，老师，它不是整式方程，因为它有$\sqrt{3}$。但是同学们要注意，$\sqrt{3}$虽然是一个无理数，但它是实数，并且它在方程中是作为一次项的系数，所以它不会改变方程是整式方程的性质。于是这道题应该选d。
例2，写出方程$-3x(x - 2) = 2(x - 3)$的二次项系数、一次项系数和常数项。想写出一元二次方程的三个系数，我们首先要将方程化成一般形式，也就是$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$）的形式。
我们通过去括号、移项、合并同类项可以得到$-3x^2 + 4x + 6 = 0$。请同学们注意，我们在化一元二次方程为一般形式的时候，要保证它的二次项系数化为正数，所以最终方程的一般形式为$3x^2 - 4x - 6 = 0$。而在读取它的三项系数时，要注意包括它前面的符号。所以方程的二次项系数为$3$，一次项系数为$-4$，常数项是$-6$。
例3，已知方程是关于$x$的一元二次方程，则$m$的值等于多少？同学们观察一下方程格式，方程中并没有平方项，中间这一项$(m - 3)x$是$x$的一次项，第三项$-2$是常数项。那么如果要想方程是关于$x$的一元二次方程，就要求方程的第一项中的$x$的次数必须为二次。也就是说$m^2 - 2 = 2$，同时方程是关于$x$的一元二次方程，一元二次方程要满足二次项系数不为$0$，这一项的系数是$m + 2$，所以我们要同时满足$m + 2 ≠ 0$。$m$需要同时满足这两个式子，分别求解得到$m = ±2$和$m ≠ -2$，最终我们确定$m$的值是$2$。
这道题提示我们，保证一个方程是关于$x$的一元二次方程，就需要同时满足包含$x$的二次项以及二次项系数不为$0$两个条件。
复习完一元二次方程的概念之后，我们继续复习一元二次方程的解法。一元二次方程的解法是本章的学习重点，解好一元二次方程是学习其他方程的关键。我们学习了四种一元二次方程的解法。
第一种直接开平方法，是建立在开平方运算的基础之上，它适用于一些形如$(x - k)^2 = h$（$h≥0$）的方程。通过对方程两边直接开平方，就可以将方程化为两个一次的方程进行求解。
第二种方法是配方法，主要步骤如下：第一步，化二次项系数为一；第二步，移项；第三步，配方。配方的主要做法是在方程两边都加上一次项系数一半的平方，配方之后，方程就可以转化成类似$(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$的形式。我们可以发现这个形式就形如$(x - k)^2 = h$。于是我们可以采用直接开平方的方法继续进行运算，得到当$b^2 - 4ac≥0$时，方程的根为$x = \frac{-b ± \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$；而当$b^2 - 4ac < 0$时，方程则没有实数根。配方法适用于任何一个一元二次方程。
在配凑的过程中，我们得到了$x = \frac{-b ± \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，这个就是我们所说的一元二次方程的求根公式，于是就引出第三种一元二次方程的解法——公式法，同样适用于任何一个一元二次方程。
第四种解法是因式分解法。因式分解法的基础是整式的因式分解，它适用于左边能易于分解为两个一次因式的乘积，而右边是$0$的方程。将方程因式分解之后，大概形如$(x - m)(x - n) = 0$的形式。于是$x - m = 0$或$x - n = 0$，这个过程也将方程化成了两个一次方程，与直接开平方法等办法相同，都是通过降次将二次方程转化为一次方程来求解，这就是我们所说的转化的数学思想方法。同学们一定要仔细体会这种数学思想方法的优点，并且尝试在今后的学习中去运用它，帮助自己提高分析问题和解决问题的能力。
接下来，请同学们用恰当的方法解下列方程，给同学们一点时间，自己先将4个方程观察一下，想一想哪个方程应该选用怎样的方法来解决？
具体选用什么样的方法来解一元二次方程，是要根据方程本身的特点来决定的。我们先看第一题，$(x + 1)^2 = 225$。这个方程形如$(x - k)^2 = h$（$h≥0$），所以我们选用直接开平方法，两边直接开方得到$x + 1 = ±15$。于是可以得到$x + 1 = 15$或$x + 1 = -15$两个一元一次方程。解这两个一元一次方程，就可以得到原一元二次方程的根，$x_1 = 14$，$x_2 = -16$。
第二题，我们通过分析这道方程它的二次项系数和一次项系数，发现它的二次项系数为$1$，而一次项系数为$4$，比较易于配方，所以我们选用配方法。我们首先将$-3$移到方程的右边，再给方程两边加上一次项系数$4$一半的平方，可以将方程化为$x^2 + 4x + 4 = 7$，开平方，就可以求出方程的两根$x_1 = -2 + \sqrt{7}$，$x_2 = -2 - \sqrt{7}$。
第三题，通过观察题目，我们会发现方程的右边提取$2$之后就会出现和左边相同的一个因式$2x - 1$，那就提示我们这道题可以用因式分解法来求解。于是我们整理方程得到$(2x - 1)^2 - 2(2x - 1) = 0$，因式分解得到$(2x - 1)(2x - 3) = 0$，最终求出方程的两根$x_1 = \frac{1}{2}$，$x_2 = \frac{3}{2}$。
最后我们来看第4小题，$2x^2 - x = 5$。通过分析这道题的二次项系数和一次项系数，我们发现二次项系数是$2$，不是$1$，一次项系数是$-1$。如果我们要采用和第二题相同的配方法来解决的话，势必运算量会比较大，那么这道题我们可以采用什么方法呢？对了，我们可以采用公式法。但是运用公式法解一元二次方程一定要注意找准它的$a$、$b$、$c$三项系数，那么我们首先要将方程化成它的一般形式，也就是$2x^2 - x - 5 = 0$，由此可以得出$a = 2$，$b = -1$，$c = -5$。再代入求根公式，得到$x_1 = \frac{1 + \sqrt{41}}{4}$，$x_2 = \frac{1 - \sqrt{41}}{4}$。同学们可以看一看老师所给出的方法与你挑选的是否一致。
当然，这四道题目我们还可以利用一个方法来解决，那就是公式法。每道题我们都把它化成一元二次方程的一般形式，套入公式都可以求解。
我们复习一元二次方程根的判别式。通过前面的复习，我们知道一元二次方程的求根公式为$x = \frac{-b ± \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，也知道当$b^2 - 4ac = 0$时，方程有实根；当$b^2 - 4ac < 0$时，方程没有实根，也就是说$b^2 - 4ac$这个值决定了方程根的情况，也就是$\Delta$的值。
当$\Delta > 0$时，方程有两个不相等的实数根，即$x = \frac{-b ± \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$；当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根，$x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$。这里一定要注意是两个相等的实数根，而不是一个实数根。
第三种情况，当$\Delta < 0$时，方程没有实数根。来看例题。例5，不解方程判断下列方程根的情况。不解方程，怎么能知道方程根的情况呢？那我们就可以抓住根的判别式$\Delta$的三种不同取值对方程根的影响来判断。要想利用$\Delta$取值来判断方程根的情况，就需要首先搞清楚方程的三项系数是什么。以第一题为例，$2x^2 - 5x - 4 = 0$，二次项系数是$2$，一次项系数是$-5$，常数项是$-4$，所以我们代入$\Delta$得到$(-5)^2 - 4×2×(-4) = 57$，而$57 > 0$，于是$\Delta > 0$。当$\Delta > 0$时，方程有两个不相等的实数根。第二题同学们可以自己先思考计算一下，我们一起来看看同学们的判断是否正确。
通过计算可以看到$\Delta$的值是$-5$，而$-5 < 0$，当$\Delta < 0$时，方程没有实数根。最后是第三小题，$25y^2 - 20y = -4$。我们发现这个方程并没有表示成一般形式，而如果方程没有表示成一般形式，就没有办法准确读出它的三项系数，所以我们首先要将方程转化为一般形式$25y^2 - 20y + 4 = 0$，所以它的三项系数为$a = 25$，$b = -20$，$c = 4$。代入$\Delta$，求得$\Delta$的值为$0$，于是得到方程有两个相等的实数根。请同学们一定要注意，这里是两个相等的实数根。
例6，已知关于$x$的方程$(m - 1)x^2 - 6x + 3 = 0$。求$m$取何值时方程有实数根和方程没有实数根，同学们可以自己先思考一下。题目中说关于$x$的方程，这个方程到底是一个什么样的方程？有同学可能会说，它不就是一个关于$x$的一元二次方程吗？你看这里有$x$的平方这一项啊。但是同学们要注意，这一项前面的系数是一个代数式$m - 1$，只有当$m - 1 ≠ 0$的时候，这个方程才是关于$x$的一元二次方程，而$m - 1$也有可能为$0$。当$m - 1 = 0$时，方程就变成了关于$x$的一个一元一次方程。所以关于$x$的方程可能是一次方程，也可能是二次方程。
因此我们这道题要进行分类讨论。我们首先看$m - 1 = 0$，即$m = 1$时，原方程就是一个关于$x$的一元一次方程，$-6x + 3 = 0$，这个方程显然是有实根$x = \frac{1}{2}$的。也就是说，当$m = 1$时，原方程有实数根。
再看第二种情况，当$m - 1 ≠ 0$，也就是$m ≠ 1$的时候，此时方程才是关于$x$的一元二次方程，而一元二次方程有实根，说明它的$\Delta$值要大于或等于$0$。我们首先写出$\Delta$的代数式等于$48 - 12m$，根据$\Delta ≥ 0$列出不等式$48 - 12m ≥ 0$，可以解出$m ≤ 4$。这里注意小于等于$4$是建立在前面$m ≠ 1$的基础之上。所以当$m ≤ 4$且$m ≠ 1$时，原方程有两个实数根。
两种方法讨论完之后，我们综合来看的话，$m ≤ 4$的时候，原方程就有实数根。
第2小题有同学会说，第一小题我分类讨论了，第2小题我需不需要分类讨论？我们一起来看一下。我们分为$m = 1$和$m ≠ 1$两种情况进行了分类讨论。在$m = 1$时方程是关于$x$的一元一次方程，这个方程始终是有实根的，不存在没有实根的情况。那也就是说，解决第二小题，我们只需要考虑方程是一元二次方程这种情况就可以了。所以一元二次方程没有实根说明什么，说明它的$\Delta$值小于$0$，于是我们列出不等式$48 - 12m < 0$，解得当$m > 4$时，原方程没有实数根。
复习完一元二次方程根的判别式之后，我们再来看一元二次方程的根与系数关系。一元二次方程根与系数关系又叫做韦达定理，它讨论了一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的两根$x_1$、$x_2$与它的三项系数$a$、$b$、$c$的关系，也就是说方程的两根和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，两根乘积$x_1·x_2 = \frac{c}{a}$。
例7，设$x_1$，$x_2$是方程$2x^2 + 4x - 3 = 0$的两个根，求代数式$\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}$的值。同学们可以先思考一下，有的同学可能会说这道题简单，我先把方程的两个根求出来，再将两根代入到后面的代数式，不就可以了吗？想法很好，我们可以试试做做看。我们可以采用公式法或者是配方法，将方程的两根求出来，得到$x_1 = -1 + \frac{\sqrt{10}}{2}$，$x_2 = -1 - \frac{\sqrt{10}}{2}$。再将这两个根代入到代数式中，就出现了一个算式，这个算式太过庞大，如果要想继续向后运算，量可想而知非常大，而且也不容易算对。那这时候有同学可能就要问了，老师有没有更简单的办法？
我们再来观察一下要求的这个代数式，我们可以将它变形成$\frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2}$，化成的这个代数式里面包含了两根乘积和两根的和。那么只要能够利用方程，利用根与系数关系求出两根和两根积之后，再代入到转化之后的这个代数式，不就可以很快地求出代数式的值了吗？
按照这个思路，我们继续向下做，根据方程得到$x_1 + x_2 = -\frac{4}{2} = -2$，$x_1·x_2 = \frac{-3}{2} = -\frac{3}{2}$。将这两个值代入到转化之后的这个代数式中，可以得到一个算式，这个算式和先前的算式比较起来就简单很多，最终我们算出结果是$-\frac{22}{3}$。
最后我们来复习一元二次方程的应用，主要体现在两个方面。它可以用来解决一些可化为一元二次方程的分式方程。我们早在七年级下的时候就已经学习过了，分式方程的主要解题方法是通过去分母将分式方程转化为整式方程来求解。七年级下的时候我们所学习的都是一些可以转化为一元一次方程的分式方程，而今天我们所学习的是可以转化为一元二次方程的分式方程。由于分式的分母不为零，所以分式方程的根求完之后还需要进行检验。
第二是利用一元二次方程解应用题，我们利用一元二次方程解决了一些类似像面积问题、数字问题、平均增长或下降率问题、营销问题、路程速度时间问题，当然还有一些其他类型的问题。利用一元二次方程解应用题，它的基本解题步骤和用一元一次方程解应用题的步骤是相同的，就是要在题目中找到等量关系并列出方程。
我们利用一个例题来复习这两个应用。例8，某开发公司生产的960件新产品需要精加工后才能投放市场。现在有甲和乙两个工厂都想要加工这批产品。已知甲工厂单独加工完这批产品比乙工厂单独加工完这批产品多用20天，且乙工厂每天比甲工厂多加工8件产品，求甲乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？
通过审题，我们发现题目中的这句话“甲工厂单独加工完这批产品比乙工厂单独加工完这批产品多用20天”表示了这个问题中的等量关系，我们可以用一个等式来表示，即甲工厂单独加工用时 = 乙工厂单独加工用时 + 20。甲工厂单独加工用时又是怎么算出来的呢？这里的总的产品件数是960件，所以甲工厂单独加工用时可以用$960$除以甲工厂每天加工件数来表示，而乙工厂的也可以用$960$除以乙工厂每天加工件数来表示。而题目要求的是甲乙两个工厂每天各能加工多少件产品。
于是根据题意，我们设甲工厂每天能加工$x$件产品。题目中告诉我们，乙工厂每天比甲工厂多生产8件，所以乙工厂每天生产的件数也可以用$x$表示出来，那么就是$x + 8$。那根据我们前面找到的等量关系转化成方程就是$\frac{960}{x} = \frac{960}{x + 8} + 20$。
同学们可以看到这是一个分式方程，解这个分式方程我们就需要把它的分母去掉。通过去分母整理出来之后得到$x^2 + 8x - 384 = 0$，我们发现这就是一个一元二次方程，这个方程我们可以选用配方法来求解，会相对比较简单一些，解出方程的两根$x_1 = 16$，$x_2 = -24$。
那么根据分式方程的根需要检验，在这里我们首先检验出$x_1 = 16$，$x_2 = -24$都是原方程的解，那么这样就可以了吗？这是一个实际的问题，我们需要考虑方程的根是否有意义，我们会发现每天加工的产品数量不可能为负数，也就是说$x = -24$这个值有问题，所以它需要舍去，最终我们得到$x = 16$，而$x + 8 = 24$。
最后不要忘了作答，甲乙两个工厂每天各能加工16件和24件新产品。
到这里我们就完整地复习了本章的所有知识，希望同学们能有所收获。以下是今天的作业：
一、阅读课本中本章小结与评价，思考自评与互评中的三个问题。
二、完成课本第十七章A组复习题中的第四、五、六、七、八五个题目。
课就上到这里，同学们，再见。