师：同学们好，今天我们一起学习初中数学北师大版八年级下册第三章第一节第三课时图形的平移。首先，复习上节课内容。一个图形沿横轴方向平移(a)个单位长度（(a＞0)），向右平移时，各点横坐标增加(a)，纵坐标不变；向左平移时，各点横坐标减(a)，纵坐标不变。一个图形沿(y)轴方向平移(a)个单位长度（(a＞0)），向上平移时，各点横坐标不变，纵坐标加(a)；向下平移时，各点横坐标不变，纵坐标减(a)。
下面看第三个问题，在坐标系中坐标做如下变化，图形会怎样变化？
横坐标不变，纵坐标加(4)，图形将向上平移(4)个单位。
横坐标不变，纵坐标减(2)，图形将向下平移(2)个单位。
横坐标减(1)，纵坐标不变，图形将向左平移(1)个单位。
横坐标加(3)，纵坐标不变，图形将向右平移(3)个单位。
横坐标减(2)，纵坐标加(3)，大家想一想。这里横坐标减(2)，图形将向左平移；纵坐标加(3)，图形将向上平移。所以我们猜想，图形将向左平移(2)个单位，再向上平移(3)个单位。这就是本节课要研究的主要内容——探究新知。
问题一：先将右图中的鱼(f)向下平移(2)个单位长度，再向右平移(3)个单位长度，得到新的(f')。请在课本图(3 - 7)中画出鱼(f')。
问题二：能否将鱼(f')看成是鱼(f)经过一次平移得到的？如果能，请指出平移的方向和平移的距离。平移是由(P)到(P')的位置，平移的距离是线段(PP')的长度。
问题三：在鱼(f)和鱼(f')中，对应点的坐标之间有什么关系？通过观察对比发现，横坐标增加(3)，纵坐标减少(2)。
问题四：改变鱼(f)最初的平移方向和平移距离，再试一试。这里平移方向仍沿坐标轴方向，例如将鱼(f)向左平移(2)个单位，向上平移(4)个单位。鱼(f)和鱼(f')对应点的坐标之间的关系是，横坐标减少(2)，纵坐标增加(4)。
问题一主要探究了图形分别沿横轴和纵轴方向经过两次平移后，图形上点的坐标变化规律。反之，当图形上点的横纵坐标分别变化，是否会引起图形的两次运动呢？
问题二：先将图(3 - 7)中鱼(f)的每个顶点的横坐标分别加(2)，纵坐标不变得到鱼(g)；再将鱼(g)的每个顶点的纵坐标分别加(3)，横坐标不变得到鱼(h)。鱼(h)与原来的鱼(f)相比有什么变化？能否将鱼(h)看成是由鱼(f)经过一次平移得到的？想一想，鱼(h)可看成是由鱼(f)沿从点(M)到点(M')的方向经过一次平移得到的。如果横坐标分别加(2)，纵坐标分别减(3)，大家想一想、画一画。通过画图发现，鱼(h)可看成是由鱼(f)从点(Q)到点(Q')的方向经过一次平移得到的。
通过以上具体操作，请思考：一个图形依次沿横轴方向、纵轴方向平移后所得到的图形与原来的图形相比，位置有什么变化？经过思考发现，一个图形依次沿横轴方向、纵轴方向平移后所得到的图形可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的。它们的对应点坐标之间有怎样的关系？这个问题较复杂，因为平移有沿横轴方向平移和纵轴方向平移两次，且横轴和纵轴都有两个方向，所以需分类讨论。
经过思考，归纳如下：设((x,y))是原图上一点，当它沿横轴方向平移(a)个单位长度（(a＞0)），沿(y)轴方向平移(b)个单位长度后（(b＞0)），这个点与它的对应点的坐标之间有如下关系：
当向右平移(a)个单位长度，向上平移(b)个单位长度，横坐标增加(a)，纵坐标增加(b)。
当向右平移(a)个单位长度，向下平移(b)个单位长度，横坐标增加(a)，纵坐标减少(b)。
当向左平移(a)个单位长度，向上平移(b)个单位长度，横坐标减少(a)，纵坐标增加(b)。
当向左平移(a)个单位长度，向下平移(b)个单位长度，横坐标减少(a)，纵坐标减少(b)。
例2：如图(3 - 8)，四边形(ABCD)各顶点的坐标分别为(A(-3,5))、(B(-4,3))、(C(-1,1))、(D(-1,4))。将四边形(ABCD)先向上平移(3)个单位长度，再向右平移(4)个单位长度，得到四边形(A'B'C'D')。
四边形(A'B'C'D')与四边形(ABCD)对应点的横坐标有什么关系？纵坐标呢？分别写出(A')、(B')、(C')、(D')的坐标。答案是四边形(A'B'C'D')与四边形(ABCD)相比，对应点的横坐标分别增加(4)，纵坐标分别增加(3)。(A')的坐标是((1,8))，(B')的坐标是((0,6))，(C')的坐标是((3,4))，(D')的坐标是((3,7))。
如果将四边形(A'B'C'D')看成是由四边形(ABCD)经过一次平移得到的，请指出这个平移的方向和平移的距离。连接(AA')，由图可知，(AA' = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5)。因此，将四边形(A'B'C'D')看成是由四边形(ABCD)经过一次平移得到的，这一平移的方向是由(A)到(A')，平移的距离是(5)个单位长度。