师：同学们，大家好。今天我们一起来学习初中数学北师大版八年级下册第六单元第四节多边形的内角和与外角和的第二课时——多边形的外角和。首先，请大家和我一起看学习目标：
掌握多边形的外角和公式，并能利用内角和与外角和公式解决实际问题。
经历探索并掌握多边形外角和等于360度的过程，进一步发展合情推理能力。
在探究多边形公式的过程中，培养合情推理意识和主动探究习惯，体会数学与现实生活的紧密联系。
接下来，我们回顾一下之前学过的相关知识。
问题一：请思考什么是三角形的外角？
生：三角形内角的一条边与另一条边反向延长线组成的角，就是三角形的外角。比如在三角形ABC中，如图所示，角1就是三角形ABC的外角。
师：非常好。看问题二，你还记得三角形外角有关的两个定理吗？
生：记得。第一个定理是三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角和；第二个定理是三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
师：大家对之前的知识掌握得很不错。接下来，我们一起学习今天的新概念。
第一个概念是多边形的外角。类比三角形外角的定义，多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角，叫做这个多边形的外角。在老师展示的图中，角A的外角就是角E。多边形的外角和，就是多边形所有外角的和。
学习完这两个概念，我们来看这样一个问题。如图，小刚沿一个五边形广场周围的小路逆时针跑步，从A点到B点，再到C点，最后回到原来的位置。请思考下面的问题：
问题一：小刚每从一条小路转到下一条小路时，跑步方向改变的角是哪些？请在图中标出。
生：跑步方向改变的角分别是角1、角2、角3、角4以及角5。
师：很好。接着看问题二，他每跑完一圈，跑步方向改变的角一共有几个？它们的和是多少呢？
生：由第一问可知，跑步方向改变的角一共是五个，但我们不太清楚这五个角的和是多少。
师：那我们先把这个疑问放一放，稍后解决。现在看这个问题，如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角。
问题一：一个外角和它相邻的内角有什么关系？
生：互补关系。
师：对。再看问题二，5个外角加上它们分别相邻的5个内角的和是多少？
生：这5个外角和它们分别相邻的5个内角，组成了5个平角，所以五个外角加上它们分别相邻的五个内角的和是5×180度，结果是900度。
师：非常棒。下面思考，这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系呢？
生：五边形外角和等于5个平角减去五边形的内角和，即5×180度 -（5 - 2）×180度，结果是360度。
师：没错，这样我们就得到结论：五边形的外角和等于360度。回过头看刚才的疑问，是不是已经解决了？它们的和就是360度。请思考，如果广场的形状是六边形，还有类似的结论吗？
生：有。类比五边形的算法，六边形就是6×180度 -（6 - 2）×180度，结果也是360度。
师：很好。那如果广场的形状是八边形呢？
生：同样的，8×180度 -（8 - 2）×180度，结果还是360度。
师：大家类比能力很强。那么n边形的外角和概念是什么呢？在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和。现在思考一下，n边形的外角和是多少度呢？
生：经过对五边形、六边形以及八边形外角和的探索，我们能得到n边形的外角和等于n个平角减去n边形的内角和，即n×180度 -（n - 2）×180度，结果是360度。
师：非常正确。要注意，n边形的外角和与边数无关。大家再思考，回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？
生：通过上节课学习，我们知道正多边形每个内角的度数是$\frac{(n - 2)×180}{n}$度。通过刚刚的学习，知道正多边形的外角和是360度，所以多边形每个外角的度数就是$\frac{360}{n}$度。
师：下面请大家拿出纸和笔，完成下面的表格。
（一段时间后）
师：好，时间到，我们一起来看。如果正多边形的边数是3，它每一个外角的度数是120度；边数是4，每一个外角的度数是90度；边数是5，每一个外角的度数是72度；边数是6，每一个外角的度数是60度；边数是8，每一个外角的度数是45度；边数是n，就是$\frac{360}{n}$度。请大家对照答案改正。
下面我们来看习题。
习题一：一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，请问它是几边形？