师：各位同学好，这节课我们学习八年级下册第一章第二节直角三角形第一课时。首先，我们来回忆下直角三角形有什么样的性质。直角三角形两个锐角互余，我们来看一下这个命题的证明。因为∠C = 90°，又根据三角形内角和为180°，可得∠A + ∠B + ∠C = 180°，所以∠A + ∠B = 180° - 90° = 90°，这样就完成了对这个定理的证明。
这个定理描述的是直角三角形在角方面的特征。那直角三角形除了角具有这样的特点以外，大家再想一想，直角三角形的边有没有什么特点？我们很容易想到，八年级上册我们学过勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。用符号语言叙述就是：在直角三角形中，两直角边分别用a和b来表示，斜边用c表示，那么直角三角形的三边满足a2 + b2 = c2。
在八年级上册，我们对勾股定理的一般性进行了证明，下面我带同学们回顾一下勾股定理的一般性证明。我们用到了割补法，在第一个图形中，我们可以求出图形中最大正方形的面积，它可以表示为(a + b)2。这个最大正方形的面积，也可以用四个直角三角形的面积和加上中间边长为c的正方形面积来表示。这两种面积计算的结果应该相等，所以我们得到一个等式，对这个等式进行代数计算化简，最终我们得到a2 + b2 = c2。
同理，我们可以用第二个图形来证明。在第二个图形中，最大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为四个直角三角形的面积和加上中间边长为(b - a)的小正方形的面积。两种面积计算结果仍然相等，得到一个等式，对这个等式进行代数化简，最终也能得到a2 + b2 = c2。
书上还提供了一种总统证明法，美国第20任总统加菲尔德在1876年利用梯形面积公式证明了勾股定理。在这个图形中，计算梯形的面积时，可以直接用上底a加上下底b乘以高(a + b)再乘以1/2，也可以间接看成是三个直角三角形的面积之和，这两种面积的结果是相等的关系。同理可以得到一个等式，对这个等式进行代数化解，最终也能得到a2 + b2 = c2。
刚才我们完善和回顾了直角三角形两个性质定理，下面同学们思考一下怎样来判断一个三角形是否为直角三角形？直角三角形有什么样的判定定理？我们首先很容易想到直角三角形的定义，有一个角为直角的三角形为直角三角形，显然这个定义是从角的角度来判断三角形是否为直角三角形。我们除了可以找一个90°的角以外，还有没有其他的方式呢？或者说还能不能利用其他的角来判定呢？可以，我们还可以用有两个角互余的三角形是直角三角形。
这个命题的证明也非常方便，因为如果∠A + ∠B = 90°，利用三角形三个内角和为180°，可得∠A + ∠B + ∠C = 180°，又因为∠A + ∠B = 90°，所以∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 90°，所以很容易判断出这个三角形也是直角三角形。
这个定理实际上依然是从三角形的角的方面来判定三角形是否为直角三角形，这两个判定方法都是从三角形的角的方面来判定。那同学们思考一下，可不可以从三角形的边的方面来判定三角形是否为直角三角形呢？大家想起来在八年级上册我们学过这样一个定义，三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，当时我们用的是测量和计算的方法得到的这个结论。今天这节课我们要完成对这个定理的详细证明。
首先要将这个命题改成符号语言，已知如图一，在△ABC中，AC2 + BC2 = AB2，求证△ABC是直角三角形。这个问题的证明用到的方法我们之前很少接触，大家仔细来看一下。在这里先做一个Rt△A'B'C'，使得∠C' = 90°，同时A'C' = AC，B'C' = BC。因为做出来的这个三角形是直角三角形，我们可以用勾股定理求出A'B'2 = A'C'2 + B'C'2。
再看已知条件给出AC2 + BC2 = AB2，将这两个等式进行比对，我们知道A'C' = AC，B'C' = BC，所以很容易得到AB2 = A'B'2，所以AB的长度和A'B'的长度相等。这样上下两个三角形之间就有三边分别对应相等，所以这两个三角形全等。根据全等三角形的性质，∠C = ∠C' = 90°，所以上面这个三角形是直角三角形。下面请同学们来看一下具体的解题过程。
好，到目前为止，我们完成了对直角三角形的两个性质定理和两个判定定理的证明过程。下面我们继续往下学习，请观察下面三组命题。
先来看第一组命题，它有两个命题，第一个命题是：如果两个角是对顶角，那么它们相等。第二个命题是：如果两个角相等，那么它们是对顶角。
再看第二组中的两个命题，第一个命题是：如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧。第二个命题是：如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。
接着看第三组中的两个命题，第一个命题是：三角形中相等的边所对的角相等。第二个命题是：三角形中相等的角所对的边相等。
读完几组命题以后，我们看一下上面每组中两个命题的条件和结论之间有什么关系呢？我们来看第一组中的两个命题，“如果两个角是对顶角”，这是它的条件部分，“那么它们相等”，这是它的结论部分。第二个命题中，“如果两个角相等”，这是条件部分，“那么它们是对顶角”，这是结论部分。同学们仔细观察，第一个命题的条件“两个角是对顶角”，正好是第二个命题的结论；第一个命题的结论“它们相等”，也就是两个角相等，正好是第二个命题的条件部分。我们会发现第一组中的这两个命题的条件和结论部分正好是互换的。
下面同学们再仔细观察第二组、第三组里面的两个命题的条件和结论，我们会发现第二组和第三组中的两个命题，它的条件和结论部分也是互换的。
那么像以上这三组中两个命题的条件和结论正好互换，这两个命题之间是一种什么样的关系呢？这就是我们今天要介绍的一种互逆命题。在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中的一个命题称为另一个命题的逆命题。
再来举个例子，给大家一个命题：两个有理数相等，那么它们的平方相等。请大家考虑一下这个命题的逆命题，它的逆命题是：如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等。