师：同学们好，今天很高兴和大家一起学习初中数学北师大版八年级下册第一章三角形的证明第一节等腰三角形第三课时。本节课将按以下七个环节展开：一、复习回顾；二、新知探究；三、想一想；四、例题讲解；五、课堂练习；六、课堂小结；七、布置作业。好，同学们，下面让我们进入第一环节。对于等腰三角形，大家是如何定义的？
生：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
师：非常好，那等腰三角形又有哪些性质呢？我们之前已经讲过了。
生：等腰三角形是轴对称图形，两个底角相等，顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合，简称三线合一。
师：没错。这节课我们的问题是，前面证明了等腰三角形两底角相等，那反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？大家思考一下。我们来求证，先看已知图形。在△ABC 中，已知∠B = ∠C，求证 AB = AC。回忆一下，前两课时讲了等腰三角形和等边三角形的相关性质，现在要反过来证明两角相等时，△ABC 是等腰三角形，该怎么处理呢？之前我们借助全等三角形的判定和性质解决问题，这里还能借助三角形全等来处理吗？大家看，我给△ABC 过 A 点作了一条高，垂足标为点 D，这样就把△ABC 分成了△ABD 与△ACD。在这两个三角形中，它们有全等的性质吗？已知∠B = ∠C，作的辅助线 AD 是高，即∠ADB = ∠ADC = 90°，AD 又是公共边，满足两角一边，那么两个三角形全等的理由是什么？
生：AAS。
师：对，因为三角形全等，所以对应边相等，即 AB = AC。这里我们作的辅助线 AD 是 BC 边上的高。大家回忆，三角形中的特殊线段除了高，还有角平分线和中线。如果这里 AD 不是高，而是角平分线，又该怎么证明呢？大家看，AD 平分∠BAC，那么∠BAD 与∠CAD 相等。又因为∠B = ∠C 是已知的，AD 是公共边，所以△ABD 与△ACD 也满足全等关系，理由还是 AAS，大家掌握了吗？刚才我们作了高和角平分线来证明，那对于中线，能不能也证明△ABD 和△ACD 全等呢？大家看，这时没有直角，也没有角平分线，有的是中线，所以 BD = CD，∠B = ∠C 已知，AD 为公共边，这里满足三角形全等的条件吗？
生：是两边一角，但∠B、∠C 并不是夹角。
师：对，如果选取 BC 边上的中点连接 AD，无法用三角形全等的方法来证明。下面我们来看等腰三角形的判定定理，如何用几何语言描述呢？我们总结一下等腰三角形的判定，在一个三角形中，最基本的判定方法是有两条边相等，如果有三条边相等，就是等边三角形。看，如果在△ABC 中有∠B = ∠C，根据等角对等边，AB 就等于 AC。这样，在△ABC 中，AB = AC，△ABC 就是等腰三角形。几何语言简写为：因为∠B = ∠C，所以 AB = AC。细心的同学可能发现了，前面提到等边对等角，这里又提到等角对等边，它们是一组互逆命题，而且都是真命题。这组互逆命题在我们后期解决三角形的学习和证明中作用很大。好，进入下一环节。课本上小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等。大家想想，这个结论成立吗？如果成立，怎么证明呢？在解决这个问题之前，我们先做个练习：如何证明△ABC 中不能有两个直角？大家思考一下。
生：假设三角形里有两个直角，假设∠A 和∠B 是 90°，这两个直角相加和为 180°，但三角形内角和是 180°，应该是∠A、∠B、∠C 相加，现在∠A 和∠B 就等于 180°了，那∠C 就没度数了，与三角形内角和定理矛盾，所以△ABC 不可能有两个直角。
师：非常好，这和我们之前的证明方式不太一样吧，大家理解这种解决问题的方式了吗？下面看第二个小问题。在△ABC 中，已知∠B ≠ ∠C，此时 AB 与 AC 要么相等，要么不相等。到底 AB 和 AC 是相等还是不相等呢？前面学过，如果∠B 和∠C 相等，AB 和 AC 也相等，因为等角对等边。现在这个问题怎么处理？大家思考一下。