师：同学们，今天我们学习初中数学北师大版八年级下册第二章第五节《一元一次不等式与一次函数》第一课。请大家准备好学习用具，我们先从熟悉的问题入手。解方程 -2X - 3 = 0 。谁来说说这个方程的解？
生：这个方程的解为 x = -1.5 。
师：非常好。那我们可以用哪些方法来求解呢？
生：可以利用等式的基本性质，通过移项、系数化为一，求出方程的解为 x = -1.5 。
师：没错，还有其他方法吗？
生：也可以借助图像法来求解。设 y = -2X - 3 ，在坐标系中作出函数的图像，找出直线 y = -2X - 3 与 x 轴交点的横坐标，就能求出方程的解为 x = -1.5 。
师：很棒。同学们再来想一想，函数 y = -2X - 3 ，方程 -2X - 3 = 0 ，它们之间有什么联系呢？
生：从表达式来看，方程 -2X - 3 = 0 等价于 y = -2X - 3 且 y = 0 。用函数的观点看，方程 -2X - 3 = 0 刻画的是函数 y = -2X - 3 当 y = 0 时的状况。对应到图形上，解方程就相当于确定直线 y = -2X - 3 与直线 y = 0 （即 x 轴）交点的横坐标。
师：通过上面的问题，我们复习了一元一次方程与一次函数的联系。我们知道方程的问题可以转化成函数来解决，反之函数的问题也可以利用方程组来解决。那么一元一次不等式与一次函数之间有怎样的联系呢？让我们从一个具体的例子开始研究，请同学们观察图像。第一个问题， x 取何值时 2X - 5 = 0 ，大家自己先想想看。
（学生思考片刻）
师：大家想好了吗？这里 y = 2X - 5 = 0 ，即 y = 0 。根据一次函数与一元一次方程的关系，从图形上看，我们只要确定直线 y = 2X - 5 与 x 轴交点的横坐标即可。由图像可得直线 y = 2X - 5 与 x 轴交点坐标为 (2.5, 0) 。因此当 x = 2.5 时， 2X - 5 = 0 。再来研究第二个问题， x 取哪些值时 2X - 5 > 0 ？动动脑筋想一想。
（学生思考片刻）
师：大家想好了吗？我们一起来分析一下。因为 y = 2X - 5 > 0 ，即 y > 0 。这个问题是寻找 y > 0 时相应的 x 的值。从图形上看， y > 0 反映的是直线 y = 2X - 5 在 x 轴上方的部分。因为这部分图像上的点纵坐标都大于 0 ，而纵坐标对应的是函数值。因此这个问题就是让我们确定直线 y = 2X - 5 在直线 y = 0 （即 x 轴）上方的点的横坐标的取值范围。观察图像，直线 y = 2X - 5 在 x 轴上方的点，它们的横坐标都大于 2.5 ，所以当 x > 2.5 时， 2X - 5 > 0 。再来看问题三， x 取哪些值时， 2X - 5 < 0 ？请你仿照上面的分析方法来解决这个问题。
（学生思考片刻）
师：你们想好了吗？我们再来分析一下，这个问题是寻找 y < 0 时相应的 x 的取值。从图形上看， y < 0 反映的是直线 y = 2X - 5 在 x 轴下方的部分，因为这部分图像上的点的纵坐标都小于 0 ，而纵坐标对应的是函数值。因此，只要确定直线 y = 2X - 5 在直线 y = 0 （即 x 轴）下方的点的横坐标的取值范围。观察图像，直线 y = 2X - 5 在 x 轴下方的点，它们的横坐标都小于 2.5 ，因此由图像得当 x < 2.5 时， 2X - 5 < 0 。最后再来看问题四， x 取哪些值时 2X - 5 > 1 ，自己再来想一想。
（学生思考片刻）
师：你们得到答案了吗？ 2X - 5 > 1 ，即 y > 1 ，我们作出直线 y = 1 ，它与直线 y = 2X - 5 交点坐标为 (3, 1) 。仿照前面的分析方法，只要确定直线 y = 2X - 5 在直线 y = 1 上方的点的横坐标的取值范围。观察图像这部分点的横坐标都大于 3 ，因此由图像我们可以得到，当 x > 3 时， 2X - 5 > 1 。
刚才我们利用函数的图像，借助数形结合思想研究了问题，我们再来研究书本上的“想一想”，你是怎样解的呢？试试看。
（学生思考解答）
师：是的，我们可以利用函数图像来解决。在平面直角坐标系中作出函数的图像。从图像上看， y < 0 就是让我们求直线 y = -2X - 5 在直线 y = 0 下方的点的横坐标的取值范围。观察图像，可得图像与 x 轴交点坐标为 (-2.5, 0) 。所以当 x > -2.5 时， y < 0 。而 y < 1 ，就是让我们求直线 y = -2X - 5 在直线 y = 1 下方的点的横坐标的取值范围。我们作出直线 y = 1 ，它与直线 y = -2X - 5 的交点坐标为 (-3, 1) 。观察图像， y = 1 下方的图像，这部分点所对应的横坐标的取值范围，可得当 x > -3 时， y < 1 。我们利用一次函数的图像解决了这个问题，我们还可以用什么方法来解决呢？想想看。
生： y < 0 ，即 -x - 5 < 0 ； y < 1 ，即 -x - 5 < 1 。这样就转换成了一元一次不等式，只要求出不等式的解集即可。
师：非常好。从上例中我们可以看出，关于一次函数的值的问题可变换成关于一次不等式的问题。反过来，关于一次不等式的问题可变换成关于一次函数的值的问题。因此，我们既可以运用函数的图像解不等式，也可以运用解不等式帮助研究函数问题，二者相互渗透，互相作用。也就是说，函数问题可以转化成不等式或方程问题，反之，不等式或方程问题也可以转化成函数问题。
让我们从数形两个角度来感受一下一元一次不等式与一次函数的关系。从数的角度看， x 取何值时，函数 y = kx + b 的值大于 0 ，就是求不等式 kx + b > 0 的解集。从形的角度看，求不等式 kx + b > 0 的解集，就是求直线 y = kx + b 在 x 轴上方的点的横坐标的取值范围。 x 为何值时函数 y = kx + b 的值小于 0 ，从数的角度看就是求不等式 kx + b < 0 的解集。从形的角度看，求不等式 kx + b < 0 的解集，就是求直线 y = kx + b 在 x 轴下方的点的横坐标的取值范围。
请同学们再来体会一下一元一次不等式与一次函数的关系。一般的，当一次函数 y = kx + b 的函数值 y > 0 或 y < 0 时，相应的自变量的取值范围就是不等式 kx + b > 0 或 kx + b < 0 的解集。从图像上看，一次函数 y = kx + b 的图像与 x 轴交点上方或下方的点的横坐标的取值范围就是不等式 kx + b > 0 或 kx + b < 0 的解集。
下面我们就用它们的联系来解决一个生活中的实际问题。同学们打开书本，看看书中的“做一做”，请大家先列出函数关系式。设哥哥与弟弟赛跑时所跑的距离分别为 Y1 米、 Y2 米，哥哥所跑的时间为 x 秒，则 Y1 = 4x ， Y2 = 9 + 3x 。我们在平面直角坐标系中作出两个函数在第一象限内的图像。请你观察并想一想图中 A 点表示的实际意义是什么？
生：点 A 表示哥哥 9 秒追上弟弟。
师：很好。来看第一个问题，何时弟弟跑在哥哥前面？自己先想一想。
（学生思考片刻）
师：我们来分析一下，弟弟所跑的距离为 Y2 ，哥哥所跑的距离为 Y1 ，弟弟跑在哥哥前面，即 Y2 > Y1 。因此这个问题就是求 x 取何值时 Y2 > Y1 。在上面几个问题的研究中，我们知道了当 x 取何值 y > 0 ，就是确定函数图像在直线 y = 0 上方的点横坐标的取值范围；当 x 取何值 y > 1 ，就是确定函数图像在直线 y = 1 上方的点的横坐标的范围。那么从图形的角度看， x 取何值时， Y2 > Y1 ，就是确定直线 Y2 在直线 Y1 上方的点横坐标的取值范围。观察图像可知， x > 0 且 x < 9 ，因此 9 秒前弟弟跑在哥哥前面。同学们，你们还有其他的解法吗？
生：因为 Y2 > Y1 ，可以转化成一元一次不等式，即 9 + 3x > 4x 。求出这个不等式的解集即可。
师：非常好。再来看问题二，何时哥哥跑在弟弟前面？请你仿照上面的分析方法自己试试看。
（学生思考解答）
师：你们想好了吗？这个问题是求 x 取何值时 Y1 > Y2 。从图像上看就是求直线 Y1 在直线 Y2 上方的点的横坐标的范围。观察图像可得 x > 9 ，所以 9 秒后哥哥跑在弟弟前面。我们也可以由 Y1 > Y2 转化成一元一次不等式来解决。
问题三，谁先跑完 20 米？谁先跑完 100 米？再来想想看。
（学生思考解答）
师：你们想好了吗？我们先来研究谁先跑过 20 米。我们在坐标系中作出直线 y = 20 。它与直线 Y1 、 Y2 分别交于 B 点、 C 点。谁先跑过 20 米，即跑到 20 米时谁用的时间最少。因此我们可以比较 B 、 C 两点的横坐标。观察图像， C 点横坐标小于 B 点横坐标，因此弟弟先跑过 20 米处。大家想想看，我们还能用其他的方法解决吗？
生：也可以利用方程来解决。
师：没错。那么谁先跑过 100 米呢？同学们自己再来试试看。
（学生思考解答）
师：你们完成了吗？采用同样的方法作出直线 y = 100 ，比较它与直线 Y1 、 Y2 的交点的横坐标，横坐标小的先到。可以看出直线 Y1 与直线 y = 100 的交点的横坐标较小。所以哥哥先跑过 100 米。我们同样也可以利用方程来解决。
从上面不同的解决方法中我们可以看出，从形的角度直观形象，但有时不准确。请同学们完成随堂练习。已知 Y1 = -x + 3 ， Y2 = 3x - 4 ，当 x 取何值时， Y1 > Y2 ？你是怎样做的呢？请你动手完成。
（学生完成练习）
师：同学们，你们做完了吗？我们来看一下。我们可以从形的角度来解决，在坐标系中作出两个函数的图像。求 Y1 > Y2 ，我们只要找出直线 Y1 在直线 Y2 上方部分的点，它们横坐标的取值范围即可。我们知道两条直线的交点坐标为 (7 / 4, 5 / 4) 。观察图像可得，当 x < 7 / 4 时， Y1 > Y2 。我们也可以把这个问题由 Y1 > Y2 转化成不等式 -x + 3 > 3x - 4 ，解这个不等式即可。
同学们，通过本节课的学习，你有什么收获呢？
生：本节课我们利用数形结合感受了一元一次不等式与一次函数之间的联系。知道可以利用一次函数的知识去解决一元一次方程与一元一次不等式的问题，反过来也可以利用一元一次不等式与一次方程来解决一次函数的问题。函数与不等式、方程是紧密联系着的一个整体，研究问题时还使用了类比思想、转化思想、数形结合思想。
师：非常好。请看课后作业。本节课到此结束，同学们再见。