师：同学们，大家好！今天我们一起学习北师大版八年级下册第二章第一节——不等关系。同学们之前学过等式，也用等式解决过很多问题。其实在现实生活中，还存在大量的不等关系，利用不等关系同样能解决许多实际问题。从这章开始，我们就来学习不等式的相关知识。
老师列举了一些表示不等关系的例子，从这些例子中，大家可以看到，质量有大小、身高有高矮、年龄有大小、面积有大小、体型有胖瘦、速度有快慢，这些都是不等关系，可见不等关系在实际生活中无处不在。那么，如何用式子来表示这些不等关系呢？
大家先和我看这样一个问题。小明和父母去游乐园玩，看到蹦蹦床游戏有如下温馨提示：为了你及其他小朋友的安全，请遵守以下规则，年龄至少为3岁，身高不超过1.3米。我们先来了解一下“至少”和“不超过”表示的含义，“至少”是大于或等于的意思，“不超过”是小于或等于的意思。
设年龄为(a)岁，那么(a)应满足的关系式为(a\geq3)。设身高为(h)米，(h)应满足的关系式为(h\leq1.3)。这样，我们就把不等关系表示出来了。
请同学们把这些式子分成两类，并说说为什么这样分。在这几个式子中，我们发现有相等关系和不等关系，所以可以把它们分成相等关系一类和不等关系一类。比如，相等关系有(a = b)，不等关系有(a < b)、(a > c)、(b > c)、(x > 5)、(a \leq 20)。
同学们知道，连接等式的符号是等号，那连接(a < b)、(a > c)、(b > c)、(x > 5)、(a \leq 20)的符号叫什么呢？我们称为不等号。大家说一说，(a < b)、(a > c)、(b > c)、(x > 5)、(a \leq 20)有什么共同特征？对，都是用不等号连接的式子。
我们知道，含有等号的式子叫做等式。类比等式的概念，不等式的概念可以叙述为：一般地，用符号“<”“≤”“>”“≥”“≠”连接的式子叫做不等式。特别说明一下，用“≠”连接的式子，也是不等式。
下面，我们通过两个练习检测一下大家对不等式概念的掌握情况。
第一题，下列各式中的不等式有哪些？在这8个式子中，式子2和6用等号连接，是等式，所以不是不等式。式子7是一个代数式，没有用不等号连接。式子1、3、4、5、8是用不等号连接的式子，因此式子1、3、4、5、8是不等式，本题答案为1、3、4、5、8。
第二题，先找出表达不等关系的词语，再用不等式表示下列关系：
(a)与(b)的和小于(5)，用不等式表示为(a + b < 5)。
(x)与(2)的差大于(-1)，用不等式表示为(x - 2 > -1)。
(a)是负数，用不等式表示为(a < 0)。
(a)是非负数，“非负数”指的是正数和(0)，所以用不等式表示为(a \geq 0)。
(x)的(4)倍不大于(7)，“不大于”指的是小于或等于，所以用不等式表示为(4x \leq 7)。
现在，我们归纳一下表明数量的不等关系的关键词语有哪些，以及如何用不等号表示。“大于”“比……大”可以用“>”表示；“小于”“比……小”可以用“<”表示；“不大于”“不超过”“至多”可以用“≤”表示；“不小于”“不低于”“至少”可以用“≥”表示。
再来归纳一下表明数量的范围特征的文字语言有哪些，以及如何用符号语言表示。(a)是正数，符号语言为(a > 0)；(a)是负数，符号语言为(a < 0)；(a)是非负数，即(a)是正数和(0)，符号语言为(a \geq 0)；(a)是非正数，即(a)是负数和(0)，符号语言为(a \leq 0)。
等式帮助我们解决过很多问题，现在我们尝试用不等式的知识来解决一个生活中的数学问题。
某中学准备在学校饭厅新添一个通风口，四周用长为(l)米的装饰条镶嵌（不计接缝）。八年级一班数学研究学习小组设计了两个方案，如图所示，方案一是正方形，方案二是圆形。
如果要使正方形的面积不大于1平方米，那么装饰条长(l)应满足怎样的关系式？
如果要使圆的面积不小于1.5平方米，那么装饰条长(l)应满足怎样的关系式？
当(l = 8)时，正方形和圆的面积哪个大？当(l = 12)时呢？改变(l)的取值，再试一试，由此你能得到什么猜想？
我们先看第一、二问。因为装饰条长为(l)米，围成正方形的边长为(\frac{l}{4})米，所以正方形的面积为((\frac{l}{4})^2 = \frac{l^2}{16})平方米；围成圆的半径为(\frac{l}{2\pi})米，所以圆的面积为(\pi(\frac{l}{2\pi})^2 = \frac{l^2}{4\pi})平方米。
根据正方形的面积不大于1平方米，可列出(l)满足的关系式为(\frac{l^2}{16} \leq 1)；圆的面积不小于1.5平方米，可列出(l)满足的关系式为(\frac{l^2}{4\pi} \geq 1.5)。
第三问，当(l = 8)时，正方形的面积为((\frac{8}{4})^2 = 4)平方米，圆的面积为(\frac{8^2}{4\pi} = \frac{16}{\pi})平方米。因为(4 < \frac{16}{\pi})，所以当(l = 8)时，正方形的面积小于圆的面积。
当(l = 12)时，正方形的面积为((\frac{12}{4})^2 = 9)平方米，圆的面积为(\frac{12^2}{4\pi} = \frac{36}{\pi})平方米。因为(9 < \frac{36}{\pi})，所以当(l = 12)时，正方形的面积小于圆的面积。
改变(l)的取值，大家会发现正方形的面积都小于圆的面积。这是因为装饰条长为(l)，正方形的面积用代数式表示为(\frac{l^2}{16})，圆的面积表示为(\frac{l^2}{4\pi})，而(\frac{l^2}{16} < \frac{l^2}{4\pi})，所以正方形的面积总小于圆的面积。也就是说，用长度相等的两根绳子分别围成一个正方形和一个圆，无论长度为何值，圆的面积总大于正方形的面积。那如果是你，会选择哪一个方案呢？
同学们，下面我们通过几个随堂练习，归纳总结列不等关系式的方法和步骤。
第一题，铁路部门对随身携带的行李有如下规定：每件行李的长、宽、高之和不得超过160厘米。设行李的长、宽、高分别为(a)厘米、(b)厘米、(c)厘米，请你列出行李的长、宽、高满足的关系式。
首先根据题意找到不等词“不得超过”，用“≤”符号表示；再找到不等关系“长宽高之和不得超过160厘米”；最后列出长宽高满足的关系式为(a + b + c \leq 160)。
第二题，通过测量一棵树的树围，可以估算出它的树龄。通常规定以树干离地面1.5米的地方为测量部位，某树栽种时的树围为5厘米，在一定的生长期内每年增加约3厘米。设经过(x)年后这棵树的树围超过2.4米，请你列出(x)满足的关系式。
在这道题中，我们首先要注意单位统一，把2.4米换算为240厘米。找到不等词“超过”，用“>”符号表示；不等关系为“经过(x)年后这棵树的树围超过240厘米”。这样我们就可以列出(x)满足的关系式为(5 + 3x > 240)。
对于列不等式有困难的同学，可以先不考虑不等关系，直接列出等式，列出等式后再根据不等关系将等号换成不等号，这样就可以把复杂的问题分解成两步来完成。
第三题，用适当的符号表示下列关系：
地球上海洋面积大于陆地面积。我们可以用(S_1)表示地球上海洋的面积，(S_2)表示陆地的面积，列出(S_1 > S_2)。
老师的年龄比你的年龄的2倍还大。用(x)表示老师的年龄，(y)表示你的年龄，列出(x > 2y)。
第四题，(a)、(b)是两个实数，在数轴上对应的点如下图所示，用小于号或大于号填空。请同学们观察数轴：
(a)为正数，(b)为负数，所以(a > b)。
(a)表示的点到原点的距离小于(b)表示的点到原点的距离，所以(\vert a \vert < \vert b \vert)。
异号相加取绝对值较大的数的符号，所以(a + b < 0)。
因为(a > b)，所以(a - b > 0)。
由3知道(a + b < 0)，由4知道(a - b > 0)，所以(a + b < a - b)。
(a)、(b)异号，所以(a \times b)为负数，(a)为正数，所以(a \times b < a)。
同学们，本题其实也可以用特殊值法代入来解决，比如取(a = 1)，(b = -2)，通过计算比较也会得到正确的答案。
第五题，用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素(C)含量及购买这两种原料的价格如下表：甲种原料每千克含维生素(C) (600)单位，单位价格为(8)元；乙种原料每千克含维生素(C) (100)单位，单位价格为(4)元。
现配制这种饮料(10)千克，要求至少含有(4200)单位的维生素(C)，试写出所需甲种原料的质量(x)应满足的不等式。
在上述条件下，如果还要求购买甲、乙两种原料的费用不超过(72)元，那么你能写出(x)应满足的另一个不等式吗？
我们先看第一问，根据题意可知，甲种原料为(x)千克，则乙种原料为((10 - x))千克。甲种原料含维生素(C)为(600x)单位，乙种原料含维生素(C)为(100(10 - x))单位。找到关系词“至少”，用“≥”符号表示，再根据“配制饮料(10)千克要求至少含有(4200)单位的维生素(C)”这个不等关系，我们就可以列出(600x + 100(10 - x) \geq 4200)。
第二问，同学们可以根据第一问的解题步骤来完成。答案是(8x + 4(10 - x) \leq 72)。
现在我们来总结一下本节课学习的主要内容。本节课主要学习了不等式的有关知识：
不等式的概念：用符号“<”“≤”“>”“≥”“≠”连接的式子叫做不等式。
列不等式的基本步骤：理解题意，找出不等关系，列出关系式。同时，我们也掌握了常见不等式的基本语言与符号语言的转换。
在数学思想方面，我们用类比思想得到了不等式的概念，用数学建模思想解决了餐厅通风口的问题。
今天的课后作业为习题2.1的1、2、3、4题。同学们在以后的学习过程中，不仅要关注所学内容，还要关注问题解决、知识形成过程中所蕴含的数学思想和方法。本节课的内容到此结束，谢谢大家，再见！