师：同学们好，欢迎进入数学课堂。今天我们学习初中数学，北京师范大学出版社八年级下册第五章第四节分式方程的第三课时，请同学们准备好学习用具。上节课我们学习了分式方程的解法，大家知道解分式方程的基本思路是什么吗？
生：把分式方程去分母转化为整式方程。
师：非常好。那么解分式方程有哪几个步骤呢？
生：第一步，化分式方程为整式方程；第二步，解这个整式方程；第三步，检验所得的根是否为增根；第四步，写出结论。
师：没错。知道了解分式方程的步骤，大家会按照步骤来解方程吗？请大家在作业本上解方程：(\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{4}{x^2 - 1} = 1) 。第一步，化分式方程为整式方程，这个方程的最简公分母是 ((x + 1)(x - 1))，方程的两边同时乘以这个最简公分母得 ((x + 1)^2 - 4 = (x + 1)(x - 1)) 。第二步，解这个整式方程，解的过程可以在研讨纸上进行，解得的结果是 (x = 1) 。第三步，把 (x = 1) 代入最简公分母，我们发现计算的结果为 (0) ，这时候 (x = 1) 是原方程的增根，所以原方程无解。通过上面解分式方程的过程，我们能发现检验的重要性。验根有哪几种方法呢？
生：有两种方法，第一种方法代入最简公分母，第二种方法代入原分式方程。
师：对，我们通常使用第一种方法。同学们还记得七年级学过的列一元一次方程解应用题吗？那么列一元一次方程解应用题的一般步骤分哪几步呢？
生：首先要审题，找等量关系；二、设未知数；三、列方程；四、解方程；五、检验；六、答题。
师：很好。昨天我们学习了分式方程的解法，分式方程有哪些应用呢？下面来开启今天的学习之旅吧。我们先来看学习目标：一、掌握列分式方程解应用题的一般步骤；二、在不同的实际问题中能审明题意，设未知数列分式方程解决实际问题，会检验根的合理性，理解数量关系，正确列出分式方程。下面我们来看一个问题，某单位将沿街的一部分房屋出租，每间房屋的租金第二年比第一年多 (500) 元，所有房屋出租的租金第一年为 (9.6) 万元，第二年为 (10.2) 万元。大家多维思考一下，能找出这一情境中的等量关系吗？题目中哪句话包含了等量关系呢？
生：每间房屋的租金第二年比第一年多 (500) 元。
师：非常棒，这句话我们就可以用式子表示为：第一年每间房屋的租金 = 第二年每间房屋的租金 - (500) 元。这部分房屋这两年都在出租，这里面还包含了一个条件，出租房屋的间数不变，那么我们就有第二个等量关系，第一年出租的房屋间数 = 第二年出租的房屋间数。这两个等量关系是有关房屋出租的租金和房间数量的关系。题目中含有这两年出租房屋的总租金，因此我们还有第三个等量关系，出租房屋间数 = 总租金÷每间房屋的租金。根据这一情境，大家能提出哪些问题呢？请思考一下。
生：想知道出租的房屋总间数和这两年每间房屋的租金。
师：那大家能利用方程求出下面提出的问题吗？我们先来看第一个问题，求出租的房屋总间数。刚才我们得出的第一个等量关系是，第一年每间房屋的租金 = 第二年每间房屋的租金 - (500) 元，而每间房屋的租金又等于总租金除以出租房屋间数。要求的问题就是出租的房屋总间数，我们把未知数设出来，设出租的房屋总间数为 (x) 间。房屋的总租金，第一年为 (9.6) 万元，第二年为 (10.2) 万元，为了保持单位一致，要把 (9.6) 万元化成 (96000) 元，(10.2) 万元化为 (102000) 元。这三个量之间的关系，我们可以列一个表格进行分析，把相应的数据填入表格中。第一年总租金 (96000) 元，第二年总租金 (102000) 元，出租房屋的间数都为 (x) ，那么每间房屋的租金第一年就可以表示为 (\frac{96000}{x})，第二年是 (\frac{102000}{x})。根据上面第一年每间房屋的租金 = 第二年每间房屋的租金 - (500) ，我们可以得到方程 (\frac{96000}{x} = \frac{102000}{x} - 500) 。这个方程很好解，得 (x = 12) 。记得下面一定要检验，把 (x = 12) 带入分母中不为 (0) 。所以 (x = 12) 是所列方程的根，还要检验是否符合题意。为什么要检验是否符合题意呢？
生：假如这一题解出的答案是个负数，那么就不符合实际，不符合题意了。
师：对，最后答出租的房屋总间数为 (12) 间。再次强调，得到的结果记住一定要检验。我们再来看第二个问题，分别求这两年每间房屋的租金。上一个问题求房屋总间数，我们用每间房屋的租金作为等量关系，这一题求每间房屋的租金，我们就用出租房屋的间数作为等量关系。设第一年每间房屋的租金为 (x) 元，则第二年每间房屋的租金为 ((x + 500)) 元。我们还可以建立一个三行四列的表格来分析这三个量两个研究对象之间的关系。第一年的总租金是 (96000)，第二年是 (102000)，第一年房屋的每间租金是 (x)，第二年每间房屋租金是 (x + 500)。出租房屋间数等于总租金除以每间房屋租金，所以第一年出租房屋间数就可以表示为 (\frac{96000}{x})，第二年可以表示为 (\frac{102000}{x + 500})。根据出租房屋间数相等，我们可以得到方程 (\frac{96000}{x} = \frac{102000}{x + 500}) 。在解这个方程时，第一步两边同时乘以 (x(x + 500))，得到整式方程 (96000(x + 500) = 102000x) 。我们发现方程两边的式子数据比较大，都有因数 (1000) 。为了简便计算，方程两边可以先除以 (1000) 化为 (96(x + 500) = 102x) ，解出来，(x = 8000) 。解出方程的根后必须要检验，把 (x = 8000) 代入最简公分母，计算的结果不为 (0) 。所以 (x = 8000) 是所列方程的根，且符合题意，再求出第二年每间房屋的租金是 (x + 500 = 8500) 。答，第一年每间房屋的租金为 (8000) 元，第二年每间房屋的租金为 (8500) 元。上面分析计算的过程可以在研草纸上进行，我们只保留这几步就可以了。通过这两个问题的解决，大家能类比列一元一次方程解应用题的步骤，总结一下列分式方程解应用题的一般步骤吗？
生：无论哪种应用题，第一步都要审题，找等量关系，找出研究对象；第二步要设未知数，注意选择恰当的未知数，注意单位；第三步列方程，根据等量关系正确列出方程；第四步，解这个方程要认真仔细；第五步，注意检验，检验包括两方面，是否是分式方程的根，是否符合题意；第六步答，注意单位和语言完整。
师：非常好，它和列一元一次方程解应用题的基本步骤是一样的，不一样的就是检验，列分式方程解应用题的检验包括两方面，这是特别需要注意的。我们知道了列分式方程解应用题的一般步骤，下面我们就来看一个例题吧。某市从今年 1 月 1 日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨 (\frac{1}{3}) 。小丽家去年 12 月份的水费是 (15) 元，而今年 7 月份的水费是 (30) 元。已知小丽家 7 月份的用水量比去年 12 月份的用水量多 (5) 立方米。求该市今年居民用水的价格，同学们思考一下，这一题的主要等量关系有哪些？题目中哪些语句包含了等量关系？