师：今天这节数学课，我们一起来学习初中数学北师大版八年级下册第五章第一节认识分式的第二课时。首先，回顾相关知识。
什么是分式呢？一般地，用(a)、(b)表示两个整式，(a)除以(b)可以写成(\frac{a}{b})的形式。如果(b)中含有字母，那么称(\frac{a}{b})为分式，其中(a)称为分式的分子，(b)称为分式的分母。
分式有意义的条件是什么？分母(b\neq0)。分式无意义的条件呢？分母(b = 0)。分式的值为(0)的条件是什么？分子(a = 0)且分母(b\neq0)。
下面来看一个小练习，关于分式有以下三个问题：
该分式有意义的条件是什么？
该分式值为(0)的条件是什么？
当(x = 6)时，分式的值是多少？大家动手做一做。
生：第一小题，分式有意义的条件是分母不为(0)，所以((x - 1)(x + 3)\neq0)，即(x\neq1)且(x\neq - 3)。
第二小题，分式值为(0)的条件是分母不为(0)且分子为(0)，即(x^2 - 9 = 0)，且((x - 1)(x + 3)\neq0)，所以(x = 3)。
第三小题，当(x = 6)时，对于这题，有两位同学给出不同结果。小明得出的结果是(\frac{9}{15})，小红得出的结果是(\frac{3}{5})。
师：你对这两种答案有什么看法？你认为它们所得到的结果相等吗？
生：这两个结果是相等的。
师：怎么才能把它们变成一样呢？想一想。
生：可以在(\frac{9}{15})的分子分母上同时除以(3)就变成了(\frac{3}{5})，反过来，在(\frac{3}{5})的分子分母上同时乘以(3)，就变成了(\frac{9}{15})。
师：请同学们反思一下，这些分数变形的理论依据是什么？
生：是分数的基本性质，分数的分子、分母都乘以或除以同一个不为(0)的数，分数的值不变。利用这个性质就能实现这两个数之间的互相转化。
师：那小明和小红究竟谁的答案是正确的呢？
生：小红的答案正确，因为(\frac{3}{5})的分子分母已经没有公因数了，是最简分数，而(\frac{9}{15})还可以继续化简。分数化简的依据就是分数的基本性质，用符号语言表示为(\frac{b}{a}=\frac{b\times m}{a\times m})，(\frac{b}{a}=\frac{b\div m}{a\div m})（(m\neq0)）。这里的(a)、(b)、(m)分别代表一个数，(m)不为(0)，当然(a)也不能为(0)。
师：类比分数，你认为分式(\frac{a}{2a})与(\frac{1}{2})相等吗？(\frac{n^2}{mn})与(\frac{n}{m})相等吗？想一想。
生：它们都是相等的。因为(\frac{a}{2a})中的字母(a)可以代表任何非(0)数，比如(a)代表(3)，分子分母同除以(3)，结果就等于(\frac{1}{2})。所以无论(a)取哪个非(0)数，根据分数的基本性质，分子、分母同除以这个数，结果都等于(\frac{1}{2})。同样的道理，(\frac{n^2}{mn})分子分母同时除以非(0)数(n)，结果就等于(\frac{n}{m})。
师：类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗？
生：分式的基本性质是分式的分子与分母都乘以或除以同一个不为(0)的整式，分式的值不变。和分数的基本性质类似，只是把具体的数变成了一般性的式，用符号语言表示为(\frac{b}{a}=\frac{b\times m}{a\times m})，(\frac{b}{a}=\frac{b\div m}{a\div m})（(m\neq0)）。这里的(a)、(b)、(m)分别代表一个整式，为保证分式有意义，(a)和(m)都不能为(0)。
师：运用分式的基本性质，我们来解决以下两个问题。第一，下列等式的右边是怎样从左边得到的呢？想一想。第一题，从左到右，分子分母同时乘以(y)，题目为什么要告诉我们(y\neq0)呢？
生：因为分子分母同乘的必须是一个非(0)的整式，否则分式就没有意义了，所以(y\neq0)，分子分母同时乘以(y)，分式的值不变。
师：第2小题从左到右，分子分母同时除以(x)。根据分式的基本性质，这里的(x)必须不为(0)。可是题目并没有告诉我们这个条件，那(x)会为(0)吗？为什么呢？
生：这里的(x)不可能等于(0)，因为题目是对左边的分式进行变形，所以分式(\frac{ax}{bx})一定得有意义，也就是说(bx)不能为(0)，所以(x\neq0)。既然(x\neq0)，分式的分子分母同除以(x)，分式的值不变，结果就等于(\frac{a}{b})。
师：这两小题的不同在于，第一小题题目直接告诉我们条件(y\neq0)，而第二小题条件(x\neq0)是隐含在题目中的，需要我们自己去发掘。再来看例二填空，仔细观察等式左右两边分式的特点，想一想。
生：第一小题从左到右分母除以了(x)，而且题目中隐含了(x\neq0)这个条件。既然分母除以(x)，要想使分式的值不变，那分子也得除以(x)，因此括号里应该是(x^2)。
第二小题从左到右，分母乘以了(x + y)，要想使分式的值不变，分子也得乘(x + y)。因此括号里应该填(2x^2 + 2xy)。
师：通过这两个例题，大家想一想，运用分式的基本性质进行变形时，应该注意些什么呢？
生：运用分式的基本性质进行分式的变形时，要注意：一、分子分母要同乘或者同除；二、同乘同除的必须是同一个不为零的整式；三、同乘同除的可以是单项式，也可以是多项式。
师：运用分式的基本性质，我们可以对分式进行化简。在学习分式的化简之前，我们先来回顾一下分数的化简，比如分数(\frac{18}{27})。大家先来回忆一下化简分数的步骤。
生：首先找出分子分母的公因数，然后利用分数的基本性质，分子分母同时除以公因数。这题(27)和(18)的公因数是(9)，分子分母同时除以(9)，把(9)约去，结果等于(\frac{2}{3})。这个化简的过程就是分数的约分。
师：类比分数的化简，你能化简下列分式吗？想一想，动手试一试。第一小题，类比分数，首先得找出分子分母的公因式。
生：第一小题，不难发现分子分母的公因式是(ab)。然后利用分式的基本性质，分子分母同时除以(ab)，从而把(ab)约去，结果等于(ac)。
第二小题，分子分母都是多项式，要找公因式，先得把它们变成乘积的形式，也就是把它们进行因式分解。分子(x^2 - 1)，利用平方差公式能够分解成((x + 1)(x - 1))。分母正好是一个完全平方式，可以分解为((x - 1)^2)。不难发现分子分母的公因式是(x - 1)。然后分子分母同时除以公因式(x - 1)，就能把(x - 1)约去，结果等于(\frac{x + 1}{x - 1})。
师：像这样把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形我们称为分式的约分。那么大家想一想，约分的理论依据是什么呢？
生：是分式的基本性质。
师：下面就请大家动手来做一做化简分式(\frac{5xy}{20x^2y})，试一试。