师：各位同学，大家好！今天我们继续学习初中数学北师大版八年级下册第五章第四节分式方程第一课时。先来看今天的学习目标：一是理解分式方程的概念；二是能够根据实际问题建立分式方程的数学模型，并归纳出分式方程的描述性定义。本节课的学习重点是理解分式方程的概念，学习难点是能够根据实际问题建立分式方程的数学模型。
下面我们来看一个情景问题。周末到了，小明和小影去文具超市为数学小组的同学购买铅笔和水笔，在购买过程中发现了两个问题。
问题一，小明说：“每支铅笔2元，每支水笔3元，我身上的钱全部用来买铅笔，或再加6元全部用来买水笔，所购买的数量是一样的。请问我身上带了多少钱？”请同学们思考。
我们可以设小明身上带了(x)元钱，列出表格。已知每支铅笔2元，每支水笔3元，那么买铅笔的总额是(x)元，买水笔的总金额是(x + 6)元。因为总金额除以单价等于数量，所以购买铅笔的数量是(\frac{x}{2})，购买水笔的数量是(\frac{x + 6}{3})。然后根据题目中的等量关系，即小明身上的钱全部购买铅笔的数量与身上的钱加6元购买水笔的数量一样，可列方程为(\frac{x}{2} = \frac{x + 6}{3})。
问题二，小颖说：“每支水笔比铅笔贵1元，用20元钱购买铅笔和用30元钱购买水笔的数量相同。请问铅笔每支多少钱？”请同学们思考。我们设每支铅笔(y)元，列出表格。已知铅笔每支(y)元，根据每支水笔比铅笔贵1元，可得水笔每支(y + 1)元。小颖用20元钱购买铅笔，30元钱购买水笔。因为总金额除以单价等于数量，所以购买铅笔的数量是(\frac{20}{y})，购买水笔的数量是(\frac{30}{y + 1})。然后根据等量关系，用20元钱购买铅笔和用30元钱购买水笔的数量相同，可列方程(\frac{20}{y} = \frac{30}{y + 1})。
观察这两个方程，思考下面几个问题。
第一个问题，你能说出方程一与方程二的名称吗？可以发现方程一是一元一次方程，而方程二我们还没学过，方程二左右两边含有分式，能不能叫做含有分式的方程呢？
第二个问题，方程一与方程二有什么异同点呢？相同点是两个方程都含有一个未知数，都有分母；不同点是方程二有分式，方程一只含有整式，而且分母是常数，不含有未知数。
为了弄清方程二的真实身份，我们需要把关注点放在两方程的不同点上，进一步思考第三个问题，方程二有什么独特之处呢？方程二左右两边不仅有分式，并且分母中含有未知数。其实像这样的方程还有许多。
第四个问题，方程二与下面我们将要学习的方程有什么共同之处呢？看想一想。甲乙两地相距1400千米，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9小时，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍。
一、你能找出这一问题中的所有等量关系吗？如果设特快列车的平均行驶速度为(x)千米每小时，那么(x)满足怎样的方程？
三、如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需(y)小时，那么(y)满足怎样的方程？请同学们思考。
先看问题一，从题目已知条件，我们得到的等量关系有：乘高铁列车所用的时间 + 9小时 = 乘特快列车所用的时间；高铁列车的平均速度 = 2.8×特快列车的平均速度；乘高铁列车所用的时间 = (\frac{1400}{高铁列车的平均速度})；乘特快列车所用的时间 = (\frac{1400}{特快列车的平均速度})。
看第二个问题，如果设特快列车的平均行驶速度为(x)千米每小时，列出表格。特快列车的平均行驶速度为(x)千米每小时，根据等量关系，高铁列车的平均速度 = 2.8×特快列车的平均速度，可得高铁列车的平均速度为(2.8x)千米每小时。因为甲乙两地相距1400千米，所以高铁列车和特快列车的行驶路程都是1400千米。又因为列车行驶的时间 = (\frac{1400}{列车行驶的速度})，所以高铁列车的行驶时间为(\frac{1400}{2.8x})，特快列车的行驶时间是(\frac{1400}{x})。然后根据等量关系，乘高铁列车所用的时间 + 9小时 = 乘特快列车所用的时间，可列方程(\frac{1400}{2.8x} + 9 = \frac{1400}{x})。
看问题三，列出表格。乘高铁列车从甲地到乙地需要(y)小时，根据等量关系，高铁列车所用的时间 + 9小时 = 乘特快列车所用的时间，可得乘特快列车所用的时间为(y + 9)小时。因为甲乙两地相距1400千米，所以高铁列车与特快列车行驶路程都是1400千米。因为列车行驶的平均速度 = (\frac{列车行驶的路程}{列车行驶的时间})，所以高铁列车的平均速度为(\frac{1400}{y})千米每小时，特快列车的平均速度为(\frac{1400}{y + 9})千米每小时。然后根据等量关系，高铁列车的平均速度 = 2.8×特快列车的平均速度，所以可列方程(\frac{1400}{y} = 2.8×\frac{1400}{y + 9})。
再看做一做。为了帮助遭受自然灾害地区重建家园，某学校号召同学自愿捐款。已知七年级同学捐款总额为4800元，八年级同学捐款总额为5000元，八年级捐款人数比七年级多20人，而且两个年级人均捐款额恰好相等。如果设七年级捐款人数为(x)人，那么(x)满足怎样的方程？请同学们思考，找出题目中的等量关系。
由题目已知条件可知，等量关系有：八年级捐款人数 = 七年级捐款人数 + 20人；七年级捐款总额 = 七年级捐款人数×七年级人均捐款额；八年级捐款总额 = 八年级捐款人数×八年级人均捐款额；七年级人均捐款额 = 八年级人均捐款额。
然后列出表格。已知七年级同学捐款总额是4800元，八年级学生捐款总额是5000元。设七年级捐款人数为(x)人，根据等量关系，八年级捐款人数 = 七年级捐款人数 + 20人，可得八年级捐款人数为(x + 20)人。因为人均捐款 = (\frac{捐款总额}{捐款人数})，所以七年级人均捐款是(\frac{4800}{x})元，八年级人均捐款是(\frac{5000}{x + 20})元。最后，根据等量关系，七年级人均捐款额 = 八年级人均捐款额，可列方程(\frac{4800}{x} = \frac{5000}{x + 20})。