师：同学们，大家好。今天我们学习初中数学北师大版八年级下册第五章第二节分式的乘除法。上节课我们学习了分式的基本性质，大家回忆一下，分式的基本性质内容是什么？
生：分式的分子和分母都乘或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变。
师：非常好。根据分式的基本性质，我们可以把分式进行约分。那什么是约分呢？
生：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。
师：没错，约分的依据就是分式的基本性质，约分的结果是最简分式或整式，其中最简分式是分子和分母已没有公因式的分式。有了前面的知识准备，我们开始今天的新知探究。小学时，我们学过分数的乘法，还记得如何计算$\frac{2}{3}$乘以$\frac{4}{5}$吗？还有$\frac{5}{7}$乘以$\frac{2}{9}$。
生：分数的乘法则是两个分数相乘，把分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母。所以$\frac{2}{3}$乘以$\frac{4}{5}$等于$\frac{2×4}{3×5}=\frac{8}{15}$，$\frac{5}{7}$乘以$\frac{2}{9}$等于$\frac{5×2}{7×9}=\frac{10}{63}$ 。
师：仔细观察这两个等式，我们知道字母可以代替任何数。如果我们把等式最左边的两个分数的分子分母都用字母来代替，那么两个分数相乘，积就变成了两个分式相乘。即$\frac{b}{a}$乘以$\frac{d}{c}$，大家猜一猜它的结果等于什么？
生：类比分数的乘法法则，应该等于$\frac{bd}{ac}$ 。
师：非常棒。从根本上看，分式与分数有很多共性，所以我们类比分数的乘法法则可以得到分式的乘法法则，即$\frac{b}{a}$乘以$\frac{d}{c}$等于$\frac{b×d}{a×c}=\frac{bd}{ac}$。如何用文字语言来叙述分式的乘法则呢？
生：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。
师：对，用式子表示为$\frac{b}{a}×\frac{d}{c}=\frac{bd}{ac}$。好，我们练习一下第一小题，$\frac{b}{4a}$乘以$\frac{2a2}{3b}$ 。
生：根据分式的乘法则，分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母，所以原式等于$\frac{b×2a2}{4a×3b}$，下一步约分，结果化成最简分式或整式等于$\frac{a}{6}$。
师：很好。第2小题，$\frac{x + 2}{x2 - 9}$乘以$\frac{x - 3}{x2 + 2x}$，同学们先自己做一做。
生：我们发现分式的分子分母中含有多项式，应该先把多项式分解因式。$x2 - 9$分解为$(x + 3)(x - 3)$，$x2 + 2x$分解为$x(x + 2)$。第二步用乘法法则，最后约分结果化为最简分式或整式，结果可以是$\frac{1}{x(x + 3)}$，也可以是$\frac{1}{x2 + 3x}$。
师：没错。那$\frac{b}{a}$乘以$\frac{b}{a}$，结果是什么？
生：用分式的乘法则，结果为$\frac{b2}{a2}$。
师：那在这个基础上再乘以一个$\frac{b}{a}$，即有三个$\frac{b}{a}$相乘，结果是什么呢？
生：是$\frac{b3}{a3}$。
师：分式的乘法则可以拓展到多个分式相乘。那么4个$\frac{b}{a}$相乘结果是什么？
生：等于$\frac{b?}{a?}$。
师：n个$\frac{b}{a}$相乘等于什么？
生：等于$\frac{b?}{a?}$。
师：根据乘方的定义，n个$\frac{b}{a}$相乘，我们可以记作$(\frac{b}{a})?$，所以$(\frac{b}{a})? = \frac{b?}{a?}$。用语言来叙述，即分式的乘方等于把分式的分子、分母分别乘方。我们来练习一下$(\frac{y}{x})3$乘以$\frac{x}{2y}$，你先试一下。
生：本题含有乘方运算和乘法运算，应先算乘方，再算乘法，最后结果化成最简分式或整式。$(\frac{y}{x})3$乘以$\frac{x}{2y}$等于$\frac{y3}{x3}$乘以$\frac{x}{2y}$，等于$\frac{y3×x}{x3×2y}$，最后化简为$\frac{y2}{2x2}$。
师：做对了。有了探究分式乘法法则的经验，我们继续探究分式的除法法则。回忆一下如何计算$\frac{2}{3}÷\frac{4}{5}$，$\frac{5}{7}÷\frac{2}{9}$ 。
生：分数的除法法则是两个分数相除，把除数的分子分母颠倒位置后再与被除数相乘。所以$\frac{2}{3}$除以$\frac{4}{5}$，首先转化为$\frac{2}{3}$乘以$\frac{5}{4}$，再利用分数的乘法则计算，得$\frac{2×5}{3×4}$，约分得$\frac{5}{6}$。同样，$\frac{5}{7}$除以$\frac{2}{9}$等于$\frac{5}{7}$乘以$\frac{9}{2}$，等于$\frac{5×9}{7×2}=\frac{45}{14}$。
师：仔细观察上面这两个式子，我们仍然用字母来代替等式最左边的两个分数的分子和分母，则由两个分数相除转化成两个分式相除，同学们猜一猜，$\frac{b}{a}$除以$\frac{d}{c}$等于什么？
生：类比分式的除法则，$\frac{b}{a}$除以$\frac{d}{c}$等于$\frac{b}{a}$乘以$\frac{c}{d}$，等于$\frac{bc}{ad}$。
师：非常好。首先除法转化为乘法，同时除式的分子分母颠倒位置，再按照分式的乘法法则进行运算。你能用语言来叙述分式的除法法则吗？