师：同学们好，本节课我们一起来学习课本第六章平行四边形的第三节内容——三角形的中位线。同学们请看，老师手里拿着一张提前准备好的三角形纸板，然后老师用剪刀将三角形两边的中点剪开。接着，把剪开的三角形绕着其中一个顶点旋转180度。同学们看看这个三角板的变化，现在它不再是三角形了。是的，它由一个三角形演变成了一个特殊的四边形。有的同学可能看出来了，它不光是四边形，还可能是平行四边形呢。那同学们，你们想知道这是为什么吗？这就是老师需要你们思考的问题，请同学们思考如何将一张三角形纸片剪成两部分，能使分成的两部分拼成一个特殊四边形。
现在老师把具体制作过程告诉你们。首先，第一步，准备一个三角形纸片，记为△ABC。第二步，选取△ABC的两条边AB、AC，取其中点，分别为D点和E点，然后连接DE。第三步，沿DE将△ABC剪成两部分，并将△ADE绕E点旋转180度，得到四边形BCFD。如图所示，同学们思考一下，这个四边形BCFD是平行四边形吗？如果这个四边形是平行四边形，那么DE和BC有什么位置和数量上的关系呢？带着这些问题，我们进入今天的新课程学习。
本节课我们要学习两个知识点。首先，一起学习三角形的中位线概念。可能有的同学会纳闷，这一章不是学平行四边形吗，怎么又学三角形了？因为三角形的中位线与平行四边形的关系非常密切，所以学完平行四边形相关知识后，就可以系统学习三角形的中位线。
三角形的中位线概念是：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。如图所示，在△ABC中，点D和点E分别是AB、AC的中点，连接DE，则DE就是△ABC的中位线。三角形中位线的概念有两层含义：一是如果D、E分别是三角形边AB、AC的中点，那么根据定义可知DE为△ABC的中位线；另一层含义是，如果DE为△ABC的中位线，同样由定义可知D、E分别为AB、AC边的中点。老师请同学们画出三角形的中位线。根据三角形中位线定义，连接三角形两边中点的线段就是三角形的中位线。三角形有三条边，如图所示，分别为AB、AC和BC，它们有三个中点，分别为D、E、F点。我们分别连接DE、DF、EF，就得到了一个三角形所有的中位线。所以由图可知，一个三角形有三条中位线。那请同学们再画一下三角形所有的中线，并说出中位线和中线的区别。
现在我们来画三角形所有的中线，同样确定三角形三边的中点为D、E、F点，然后连接AF、BE和CD，这样就画出了△ABC中所有的三条中线。现在我们来说说中位线和中线的区别。我们知道，中位线是连接三角形两边中点的线段，中线是连接三角形一个顶点和它对边中点的连线。同学们一定要记住，中位线和中线是两条不一样的线段。我们知道了中位线，那中位线有什么性质呢？下面我们一起探究一下，请同学们看题。
如图一所示，DE是△ABC中位线，求证：DE∥BC，DE = 1/2BC。如果想解决这个问题，可以借助刚上课时老师演示的三角形纸板变换思路。将△ADE绕E点旋转180度，得到一个特殊的四边形，通过证明这个四边形是平行四边形，好像问题就能解决，对吧？按照这个思路，我们是不是可以延长DE，如图2所示。那DE延长多少呢？对，延长一倍。我们把DE延长至点F，使得DE = EF。接下来怎么办呢？是不是连接CF就可以了？如图2所示，连接CF，就好像把△ADE补到下面来了。下一步我们发现，通过这种作辅助线的方式可以证明△ADE和△CEF全等。这里全等该怎么证明呢？通过作辅助线得到DE和EF两条边相等，又因为DE是中位线，E点是AC边的中点，所以AE = CE。还有什么条件呢？∠AED和∠CEF这两个角是对顶角。所以根据边角边，就可以判定△ADE≌△CEF。证明完这两个三角形全等之后，利用全等三角形的性质得出结论，AD = CF。同时我们又知道AD = BD，所以根据等量代换可知BD = CF。那只要再说BD和CF平行，是不是就证明四边形BCFD是平行四边形了？是的，那BD和CF平行吗？根据刚才三角形全等，可知对应角相等，也就是∠ACF = ∠A，这两个角是对应角，同时又是一组内错角，由这两个角相等，就可以知道BD∥CF。现在BD和CF既平行又相等，根据平行四边形的第二个判定定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以得出四边形BCFD是平行四边形。既然它是平行四边形，那么DE就平行于BC了，这是根据平行四边形的定义。同时数量上有什么关系呢？DF = BC，而E点为DF的中点，所以DE = 1/2DF，又因为DF = BC，所以DE = 1/2BC。这就是通过辅助线证明出来的，因为延长了一倍。这样就完成了对这个题目的证明。咱们一起来看一下证明的步骤。
证明完毕，这就是我们今天主要学习的三角形中位线定理。我们再来熟悉一下，注意这个定理的内容：三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。注意，这里的第三边指的是中位线没有连接的那条边，也就是它所对的边。位置上与第三边平行，数量上等于第三边的一半。
好，利用这个三角形中位线定理，我们来看这道题。如图所示，在△ABC中，D、E、F分别是△ABC三边的中点，证明△ADE、△BDF、△DEF和△CEF这四个三角形全等。这道题该如何处理呢？想要证明这四个三角形都全等，可以分开两两三角形全等来证明。比如先证明△ADE≌△BDF。因为DE为三角形的中位线，所以D点为AB的中点，那么AD = BD。再根据三角形中位线定理，DE = 1/2BC，F点为BC的中点，所以DE = BF。又因为DE∥BF，所以∠ADE = ∠DBF，于是构成了三角形全等的边角边条件，从而证明了△ADE≌△BDF。