师：同学们，你们好，今天我们一起学习初中数学北师大版八年级下册第四章第二节提公因式法第一课时，请大家准备好学习用具。上节课我们认识了因式分解，下面先来回顾一下，什么叫因式分解？把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也可称为分解因式。整式乘法与因式分解之间有什么关系呢？
整式乘法与因式分解是一种互逆变形，可以利用整式乘法来检验因式分解的结果是否正确。下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解？哪些不是因式分解？为什么？请同学们自己先来判断。
师：好，我们来看第一小题，它不是因式分解，因为等式左边不是多项式。第2小题，它不是因式分解，因为从左向右是整式的乘法。第3小题，它不是因式分解，因为分解结果错误。第4小题是因式分解。第5小题是因式分解。第6小题，它不是因式分解，因为最后的结果不是整式的乘积的形式。好，我们来看第4题，用简便方法计算，请大家拿出草稿纸，动手算一算。大家完成了吗？我们一起看一看。在这个算式中，每一项都乘以相同的因数1/8。因此我们逆用乘法分配律把1/8提取出来，再乘以其余各数的和。请看答案。
师：如果把这题中的1/8换成字母a，你能快速解答吗？试试看。
生：可以类比上面的方法，把相同的字母a提取出来，再与其余各数的和相乘。
师：很好，这两个算式中各项都乘以相同的因数或相同的字母。因此我们可以提取相同的数或字母，逆用乘法分配律来进行简便运算。我们接着来研究一个图形的问题。如图，两个长和宽分别为a和m、b和m的长方形拼成一个较大的长方形。求这个新长方形的面积，想想看你可以怎样计算？
生：可以分别求出每个长方形的面积为ma和mb，这样新长方形的面积就是ma + mb；也可以直接用新长方形的长a + b乘以宽m，得出面积为m(a + b)。
师：非常好，此时这两个式子都表示了新长方形的面积，因此它们存在相等关系。我们来看这个等式的左边是多项式，右边是整式的乘积的形式，因此这个等式从左到右就是因式分解。
通过上面两个问题，我们发现多项式中都含有相同的数字和字母。我们来观察下列多项式中各项都含有相同的因式吗？请你仔细观察。
师：第一个多项式，每一项都含有相同的因式m。第二个多项式，每一项都含有相同的因式a。第三个多项式，每一项都含有相同的因数。第四个多项式，每一项都含有相同的因式x。最后一个多项式，每一项都含有一个相同的因式b。我们发现这些多项式的共同特征：多项式中每一项都含有一个相同的因数或因式。一起来看公因式的定义，多项式各项都含有的相同因式叫做这个多项式各项的公因式。例如第一个多项式各项都含有相同的因式m，所以m叫做这个多项式各项的公因式。我们认识了多项式中的公因式，下面我们来找一找下列多项式有没有公因式，如果有，分别是什么？
师：一起看。第一个多项式ac + bc有公因式，因为它的每一项都含有相同的因式c，所以ac + bc各项的公因式是c。第二个多项式，3xy + 2xz有公因式，因为它的每一项都含有相同的因式x，所以3xy + 2xz的各项的公因式是x。第三个多项式，3x2 - 6x有公因式。因为它的每一项都含有相同的因数3和相同的因式x，因此每一项都含有相同的因式3x，所以3x是3x2 - 6x各项的公因式。我们继续来研究多项式2x2 + 6x3中各项的公因式是什么？怎样确定呢？同学们自己先来想一想。
师：我们一起来寻找怎样确定各项的公因式。我们从以下几个方面来寻找：一看系数，我们要确定各项系数的最大公因数。这个多项式各项的系数分别为2和6，它们的最大公因数是2，因此公因式的系数为2。二看字母，找出各项中所含相同的字母。这个多项式各项都含有相同的字母x，因此我们可以确定相同的字母为x。三看指数，相同字母的指数取最小的那个。因为多项式中相同字母x的指数分别为2和3，最小的是2，因此我们可以确定x的指数为2。那么公因式就是刚才我们找出的系数与相同字母的最低次幂的积。因此这个多项式各项的公因式为2x2。下面我们来总结一下确定公因式的方法。
师：一定系数，公因式的系数是各项系数的最大公因数，即找出多项式各项系数的最大公约数。二定字母，取多项式各项中都含有的相同的字母，即多项式各项中公共的字母。三定指数，相同字母的指数取各项中最小的那个，各项系数的最大公因数与相同字母的最低次幂的积就是这个多项式的公因式。好，下面我们就来尝试一下利用这个方法确定一个多项式的公因式，请大家完成练一练。
师：大家完成了吗？我们一起订正一下。利用确定公因式的三步，第一个多项式，我们先定系数。这个多项式各项的系数为21和14，它们最大的公因数为7。第二步，定字母。这个多项式各项所含相同的字母有a和字母b。最后定指数，字母a的指数分别为2和3，因此a的指数为2；字母b的指数分别为3和4，因此b的指数为3。那么这个多项式的公因式就是7a2b3。第二个多项式首先确定系数，这个多项式各项系数为4、4和 - 8，最大公因数是4。第二步，定字母，这个多项式各项中都含有的相同字母是x。第三步，定指数，相同字母x的指数分别是2、1、1，所以字母x的指数为1。那么这个多项式的公因式是4x。