师：同学们好，今天我们一起来学习初中数学北师大版八年级下册第四章《因式分解》的复习与回顾。现在，我们开始本章的知识回顾。首先，谁能举例说明什么是因式分解？其次，因式分解与整式乘法有什么关系？因式分解常用的方法又有哪些？大家试着画出本章的知识结构图。我们一起来回忆下本章的知识结构。同学们，我们在七年级下册第一章学习了整式的乘法，在八年级下册第四章学习了因式分解。通过这两章的学习，我们知道它们互为逆运算。那么，什么是因式分解呢？把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形就叫做把这个多项式因式分解。同学们在课本学习中发现了哪些因式分解的方法呢？主要有提公因式法。如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。而运用公式法，主要是运用前面在学习整式乘法时学过的两个公式。
平方差公式：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$；完全平方公式：$a^2 ± 2ab + b^2 = (a ± b)^2$。在运用公式法的过程中，如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式，这种因式分解的方法就叫做运用公式法。平方差公式和完全平方公式是运用公式法中最常见的两种形式。下面，我们一起来强调几个关于因式分解的知识点。
知识点一：对于因式分解概念的理解。请同学们观察例一，判断下列四个式子中从左到右的变形过程是否为因式分解。先思考第一题：$y^2 - 3y - 4 = y(y - 3) - 4$，同学们观察这个式子变形是否为因式分解？我们可以判断它不是，因为它没有转化成几个整式的积的形式。第二小题：$1 - 4x + 4x^2 = (1 - 2x)^2$，我们发现这个小题从左到右的变形运用的是完全平方公式，符合因式分解。第三小问：$x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$，从左到右的变形运用了平方差公式，符合。第四小问：$x - 1 = x(1 - \frac{1}{x})$，同学们发现它没有转化成几个整式的积的形式，所以不符合。通过例一的学习，希望同学们能加深对因式分解概念的认识。
知识点二：利用提公因式法因式分解。观察第一小问中的公因式，同学们发现了吗？在第一个式子中，我们发现多项式中每一项都含有$-9mn$，将多项式中每一项都提取$-9mn$，得到$(3m - n + 2)$。第二小题：$4b(1 - b)y^3 + 2(b - 1)y^2$，在找公因式的过程中，我们可以先将$2(b - 1)^2$改为$2(1 - b)^2$。同学们看，这样改写之后，我们就可以提取公因式$2(1 - b)^2$，那么第一项剩下$2b(1 - b)$，第二项剩下$1$，然后将整体化简，变成$2(1 - b)^2(2b - 2b^2 + 1)$。请同学们将例2两个小题对照看看，结果发现第一小问是直接提取单项式$-9mn$作为公因式得到最后的答案，而第二小问是提取$2(1 - b)^2$，在提取之前，我们还对题目中第二式$2(b - 1)^2$进行了调整。同学们，公因式在分解过程中既可以是单项式，也可以是多项式，需要我们具体问题具体对待。
知识点三：利用公式法进行因式分解。首先观察$(m + n)^2 - (m - n)^2$，在因式分解的过程中，我们可以把$m + n$当成一个整体，$m - n$也当成一个整体，直接使用平方差公式。在第二小题中，我们可以把$x + y$当成一个整体，直接使用完全平方公式。请同学们计算一下。同学们，对照一下答案，做对了吗？
希望大家通过例2、例3的学习，加强对因式分解基本技能的训练。在运用因式分解时，我们可以先化简整理，再考虑用公式或其他方法进行因式分解。下面我们来看第四知识点：综合运用多种方式方法进行因式分解。请同学们先观察第一、第二小题是否有公因式，若有公因式提出后，先看是否具有平方差公式或者完全平方公式的特征，如果有，则使用公式法；如果都没有，再考虑将多项式重新整理或分组后进行分解因式。
第一小题，我们可以先提取$x$，得到$x(x^2 - 4)$，发现括号里可以使用平方差公式，最后答案为$x(x + 2)(x - 2)$。第二小题在提取公因式的过程中发现可以提取$y^2 - 1$，将$y^2 - 1$当为公因式提取后，得到$(x^2 + 2x + 1)$，发现$x^2 + 2x + 1$是完全平方公式，而$y^2 - 1$可以再次分解，最后得到$(y + 1)(y - 1)(x + 1)^2$。
下面我们进行第五知识点：运用因式分解进行计算和求值。首先看第一小题，$\frac{100^2}{(99^2 + 198 + 1)^2}$，同学们，我们怎么运用公式法来进行因式分解呢？请认真观察分式中的分母，我们可以将$198$改写成$2×99$，从而使用完全平方公式，得到$\frac{100^2}{(99^2 + 2×99 + 1)^2}$，这样就可以对分式的分母进行完全平方，答案为$1$，计算过程简便了很多。
第二题，$1999^2 - 1998×2002$，我们将$1998$改写为$2000 - 2$，$2002$改写成$2000 + 2$，整理后发现$1999^2 - 2000^2$可以使用平方差公式，最后的答案即为$-3995$。第三小题，我们发现可以提取公因式$(-2)^{100}$，这样第一项剩下的因式为$5$，第二项剩下的因式为$1$，答案就是$-2^{100}$。同学们，通过例5运用因式分解进行计算和求值，是不是发现计算变得简便了？下面请同学们再观察第六与第七题。
已知$x^2 + 3x - 2 = 0$，求$2x^3 + 6x^2 - 4x$的值。根据问题，我们可以先提取$x$，再提取系数$2$，得到公因式$2x$，结果发现提取之后是$2x(x^2 + 3x - 2)$，括号里的就是题目已知条件，那么得到$2x×0$，最后结果为$0$。当然，如果同学们观察得仔细，也可以直接一步提取公因式$2x$，这样计算起来更方便。例7，已知$x + y = 1$，求$\frac{1}{2}x^2 + xy + \frac{1}{2}y^2$的值。如果大家对$\frac{1}{2}x^2 + xy + \frac{1}{2}y^2$比较熟悉，就可以先提取$\frac{1}{2}$，得到$\frac{1}{2}(x^2 + 2xy + y^2)$，结果发现括号里可以使用完全平方公式，得到$\frac{1}{2}(x + y)^2$，将$x + y = 1$代入，得$\frac{1}{2}$。