师：同学们好，欢迎来到数学课堂。这节课我们学习初中数学北师大版八年级下册第四章第二节提公因式法第二课时。请准备好练习本和笔，回忆上节课内容，完成下面3个小题，独立思考求解。做好了吗？我们一起来看答案。
第一小题，$a^2b - 5ab = ab(a - 5)$；第二小题，$4m^3 - 8m^2n + 4m^2 = 4m^2(m - 2n + 1)$；第三小题，$-2x^2y + 4xy^2 - 2xy = -2xy(x - 2y + 1)$。
相信大家都做对了，这几个小题运用提公因式法对一般多项式进行因式分解。结合对这个方法的理解，请思考以下几个问题：如何确定公因式？提公因式法分解因式的一般步骤是什么？如何检验因式分解结果的正误？
对于第一个问题，确定公因式是提公因式法进行因式分解的关键。公因式是多项式各项都含有的相同因式，确定公因式一般分三步走：
一定系数，取多项式各项系数的最大公约数；
二定字母，取多项式各项都含有的相同字母；
三定指数，取多项式各项都含有的相同字母的最小指数，即最低次幂作为公因式中这个字母的指数。
第二个问题，用提公因式法进行因式分解，一般先观察多项式，确定公因式后提取出来，会产生另一个因式，简单说就是找公因式、提公因式。
第三个问题，检验因式分解结果正误，因为因式分解与整式乘法互为逆变形，所以可以用整式乘法运算来检验。
现在对提公因式法分解因式更清晰了吧？下面继续探究。探究一：多项式$a(x - 3) + 2b(x - 3)$能用提公因式法分解因式吗？若能，公因式是什么？
先观察这个多项式，它可看成两项之和，即$a(x - 3)$与$2b(x - 3)$，这两项都含有相同因式$x - 3$。把这个因式看作整体提取出来，多项式可因式分解为$(x - 3)(a + 2b)$。原来这个多项式能用提公因式法分解因式，公因式是$x - 3$，也就是说公因式可以是单项式，也可以是多项式。
下面请尝试练习，根据探究一，求解这3个小题。
第一小题，$3a(x - y) - (x - y)$，观察可知，它可看成两项之差，两项都含有相同因式$x - y$，即公因式。提取公因式可得结果为$(x - y)(3a - 1)$。
第二小题，$y(x + 1) + y^2(x + 1)^2$，此多项式可看成两项之和，即$y(x + 1)$与$y^2(x + 1)^2$，它们都含有相同因式$y(x + 1)$，确定公因式为$y(x + 1)$。提取出来可得$y(x + 1)[1 + y(x + 1)]$，继续化简得$y(x + 1)(1 + xy + y)$。
第三小题，$(2a + b)(a - 4b) - 3a(2a + b)$，该多项式可看成$(2a + b)(a - 4b)$与$3a(2a + b)$的差，公因式为$2a + b$。提取出来得$(2a + b)(a - 4b - 3a)$，继续化简得$(2a + b)( - 2a - 4b)$。
同学们，做到这一步计算完成了吗？因式分解结果一定要最简。注意到这里的第二个因式$-2a - 4b$还可再提取公因式，最终结果为$-2(2a + b)(a + 2b)$。
下面继续探究二：多项式$a(x - y) + b(y - x)$能用提公因式法分解因式吗？若能，公因式是什么？
观察这个多项式，它可看成$a(x - y)$与$b(y - x)$两项的和。注意到两项中一个是$x - y$，一个是$y - x$，它们不相同，目前不能作为公因式提取，但很相似。对比$x - y$与$y - x$，$x$与$-x$互为相反数，$-y$与$y$也互为相反数，所以这两个多项式整体互为相反数。
根据这一关系，可把$y - x$转化为$-(x - y)$，同样也可把$x - y$转化为$-(y - x)$。那么多项式$a(x - y) + b(y - x)$就可转化为$a(x - y) - b(x - y)$，这样就能提取公因式$x - y$，因式分解结果为$(x - y)(a - b)$。
还可以怎么做呢？根据前面分析，也可将$a(x - y)$转化为$-a(y - x)$，那么多项式就变为$-a(y - x) + b(y - x)$，提取公因式$y - x$，可得结果为$(y - x)( - a + b)$，即$-(y - x)(a - b)$。
这个方法掌握了吗？$x - y$与$y - x$互为相反数可相互转化，那$x - y$的平方与$y - x$的平方呢？根据前面分析，$y - x$可转化为$-(x - y)$，所以$(y - x)^2 = [-(x - y)]^2 = (x - y)^2$，也就是说$(y - x)^2$与$(x - y)^2$相等，二者可直接转化，当然$(x - y)^2$也可直接转化为$(y - x)^2$。
顺着这个思路思考，$x - y$的3次方与$y - x$的3次方有什么关系？能相互转化吗？类比前面方法，可将$(y - x)^3$转化为$[-(x - y)]^3$，它表示三个$-(x - y)$相乘，结果为$-(x - y)^3$。原来$(y - x)^3$与$(x - y)^3$互为相反数，那么$(x - y)^3$可转化为$-(y - x)^3$。