师：同学们，今天我们继续学习与三角形有关的角的知识。大家知道国旗上五角星五个角的和是多少度吗？探究完今天的内容，我们就能解决这个问题。首先复习一下，什么是三角形的内角，三角形的内角和是多少度？
生：三角形两边组成的角叫三角形的内角，三角形内角和是180度。
师：非常好。如图，在三角形ABC中，角A等于60度，角B等于45度，那么角C等于多少度呢？
生：根据三角形内角和是180度，角A + 角B + 角ACB = 180度，所以角ACB = 180度 - 60度 - 45度 = 75度。
师：很好。继续看图，在三角形ABC中延长BC边得射线CD和角ACD，那么角ACD等于多少呢？
生：角ACD和角ACB是邻补角，所以角ACD = 180度 - 75度 = 105度。
师：那角ACD是三角形ABC的内角吗？
生：不是，因为角ACD的两边分别是CA和CD，其中CD已不是三角形ABC的一边，不符合内角概念。
师：没错，像这样由三角形的一边和另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角，所以角ACD就是三角形ABC的一个外角。知道了什么是三角形的外角，下面请同学们动手画一画，找出三角形ABC其他外角，看看能画出几个。
（学生动手画）
师：画好了我们来看，在三角形ABC顶点A处，可以做出角1和角2两个外角，同样在顶点B处和顶点C处也分别能做出两个外角，并且它们分别是对顶角。所以三角形ABC有6个外角，每个顶点相对应的外角都有两个，且这两个角为对顶角。不过同学们注意，研究外角问题时，通常每个顶点处只取一个外角探究相关知识，具体题目中会再深究。现在同学们能归纳出三角形外角的特征吗？
生：三角形的外角顶点是三角形的顶点，外角的两边，有一边是三角形的一边，另一边是三角形另一边的延长线。
师：非常棒，学以致用。请同学们认真辨析，在如图所示的三角形ABC中，角BEC是哪个三角形的外角呢？
生：对照外角定义和特征，角BEC的两边分别是EB和EC，顶点是点E。在三角形BEC中，角BEC是内角，不是我们要找的。在三角形AEC中，EC是一边，EB是AE的延长线，所以角BEC是三角形AEC的一个外角。
师：很好。那角AEC是哪个三角形的外角呢？
生：点E是三角形AEC和三角形BEC的顶点，角AEC是三角形AEC的内角，不是它的外角。在三角形BEC中，EC是一边，EA是BE的延长线，所以角AEC是三角形BEC的一个外角。
师：非常好。继续观察，角EFD是哪个三角形的外角呢？
生：点F同时是三角形BEF、三角形DFC和三角形BFC的顶点。在三角形BFC中，FE和FD两边都不是其一边，不符合外角特征。在三角形BEF中，FE是一边，FD是BF的延长线，所以角EFD是三角形BEF的一个外角。在三角形FDC中，FD是一边，FE是CF的延长线，所以角EFD也是三角形FDC的外角。
师：非常正确。继续来看三角形ABC，它的外角ACD和三角形ABC三个内角角A、角B和角ACB分别有怎样的位置关系呢？
生：角ACB和角ACD有公共边CA，另外两边互为反向延长线，角ACB是与外角ACD相邻的内角，角A和角B是与角ACD不相邻的内角。
师：没错，研究几何图形，除了位置关系，还会研究什么关系呢？
生：数量关系。
师：对，在任意三角形ABC中，它的外角ACD与角A、角B、角ACB之间有什么样的数量关系呢？同学们可以自己动手测量每个角的度数，大胆猜想它们之间的数量关系，再尝试证明。
（学生操作）
师：我们看，角ACD和角ACB是邻补角，所以角ACD + 角ACB = 180度。又因为三角形内角和是180度，即角A + 角B + 角ACB = 180度。根据等量代换，角ACD = 180度 - 角ACB，角A + 角B = 180度 - 角ACB，所以角ACD = 角A + 角B。之前学过平行线相关知识，能不能通过添加平行线的方法来证明呢？
生：过点C作CE平行于AB，把角ACD分成角1和角2。根据平行线性质，两直线平行，同位角相等，角1 = 角B；两直线平行，内错角相等，角2 = 角A。因为角ACD = 角1 + 角2，所以角ACD = 角A + 角B。
师：非常好。类比在点C处作平行线的方法，还可以过B点作AC平行线，过A点作BC平行线等添加辅助线的方法，同学们课后可以思考并完成证明过程。因此我们得出，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，这是三角形内角和定理的一个推论，也就是三角形外角的性质。用几何语言表达为角ACD = 角A + 角B。这里要注意“不相邻”三个字，从刚刚推导过程可知，和这个外角相等的是不相邻的两个内角的和。从角ACD = 角A + 角B，因为角的度数都是正数，是不是可以得出角ACD > 角A，角ACD > 角B呢？
生：是的。
师：所以我们还可以得出，三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。这里还是要强调“不相邻”三个字。为什么呢？同学们观察，三角形ABC中角ACD的度数可以从钝角变为直角和锐角，当角ACD是钝角时，大于角ACB；当它是直角时，和相邻内角相等都是90度；当它是锐角时，小于相邻内角。所以外角和相邻内角的数量关系随角ACD度数变化而改变，推论里一定要加上“不相邻”。用几何语言表达，因为角ACD是三角形ABC外角，所以角ACD > 角B。我们总结一下三角形外角和它三个内角的关系。
生：三角形的一个外角与它相邻的一个内角互补，这个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。