师：亲爱的同学们，大家好，欢迎来到数学课堂。今天我们来一起学习第十二章第三节角平分线的性质第一课时的内容。请同学们准备好学习任务单和相关学习用品。首先，我们一起复习前面两个重要知识点。
第一个知识点，两个三角形全等的判定方法：
三边分别相等的两个三角形全等，简记为“边边边”或“SSS”。
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，即“边角边”或“SAS”。
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，即“角边角”或“ASA”。
两角分别相等，且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，即“角角边”或“AAS”。
当遇到直角三角形时，除了前面这4个判定方法，还可以用斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简记为“斜边、直角边”或“HL”。学习的关键是找准判定条件，同时要做到恰当选择和规范的几何语言表述。
第二个知识点，全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，对应角也相等。性质内容的精髓在于结论对应的边角相等，这为我们在几何问题中进行边角转化提供了有效的方法。同时，判定方法和性质相辅相成，同学们一定要牢固掌握。
带着已有的知识，我们开始今天的新课学习。首先请问同学们，你有哪些方法画一个角的平分线呢？
生：我们之前学过利用量角器度量、折叠来画一个角的平分线。
师：非常好。接下来我们继续探究角平分线的画法。有这样一个工具，如图，它叫平分角的仪器。其中AB等于AD，BC等于DC。使用时将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，则AE就是角DAB的平分线。那么请问同学们，为什么AE是角DAB的平分线呢？首先我们可以抽象出几何图形。要证AE是角DAB的平分线，就是要证明角DAC等于角BAC。那么要证明两角相等，在这样的图形中，同学们有思路吗？
生：前面学过全等三角形的性质，只要能证明三角形ABC全等于三角形ADC，就可以利用全等的性质证得角BAC等于角DAC。
师：没错。回顾一下条件，我们已知AB等于AD，BC等于DC，而图中AC是它们的公共边，显然相等。所以这两个三角形满足了三边分别相等，因此三角形ABC全等于三角形ADC。由全等三角形性质，我们就可以得到角BAC等于角DAC，从而AC平分角BAD。虽然角的平分仪器是一个接地气的工具，同时也符合数学原理，但是它的制作、携带和使用对于同学们来说都不太现实。因此，我们再来一起学习一种更高级的角平分线画法——尺规作图画角平分线。这里的尺规指的是圆规和没有刻度的直尺。既然是没有刻度的直尺，它的作用是用来画直线，不可以用于度量。请同学们准备好作图工具，我们一起来完成学习任务单中角AOB的平分线OC的作图过程。
第一步，以点O为圆心，适当的长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。
第二步，分别以M、N点为圆心，大于1/2MN长为半径画弧，两弧在角AOB的内部交于点C。
第三步，作射线OC，那么射线OC即为所求。同学们，你做好了吗？
这个作图过程能一遍成功的同学，说明你的动手能力很强，老师为你点个赞。没有成功的同学，建议反复观看此段作图过程。为了便于同学们理解并记忆这个作图过程，下面重点给同学们解释一下做法中的第二步。分别以点M、N为圆心，大于1/2MN长为半径画弧，是指我们要画两次弧，圆心分别是M和N，两次画弧的半径是相等的，即图中的MC等于NC，大于1/2MN长是为了能让两条弧一定有交点。另外强调交角AOB内部于点C，是因为按要求所做出的两条弧一般会有两个交点，但是我们只要在角内部画出一个交点，为下一步画角平分线做好准备就行了。课后请同学们反复练习这个作图过程，以便熟练掌握。俗话说，知其然更要知其所以然。同学们根据尺规作角平分线的画法，你能证明OC是角AOB的平分线吗？让我们一起来分析一下思路。
做法的第一步中我们得到了OM等于ON，第二步做法中得到MC等于NC。那就是我们已知图形中有OM等于ON，MC等于NC。求证OC平分角AOB，类似于角平分仪器的证法，我们可以继续使用全等三角形的性质来先证两角相等。图中三角形OMC与三角形ONC满足三边分别相等，因此它们全等，从而我们可以得到对应的角MOC等于角NOC。证明过程如下：在三角形OMC和三角形ONC中，我们已知OM等于ON，MC等于NC，OC等于OC。所以三角形OMC全等于三角形ONC，依据“三边对应相等”，所以角MOC等于角NOC，即OC平分角AOB。
同学们，到这里我们又得到了一个角平分线的画法，并且能用所学知识进行推理证明。那么接下来我们将一起来探究角平分线的性质。请同学们和我一起来完成以下两个实验。我们实验的背景是：如图，OC是角AOB的平分线，点P是OC上的任意一点。
第一次实验操作测量：分别在OA、OB上取点M、N，连接PM、PN，并测量PM、PN的长度，将数据记录下来。同样的步骤再做两次。请同学们看老师操作之后记录的数据。通过数据我们发现此时的PM与PN长度并无明显关系。
那么我们再来进行第二次操作测量：在OC上取点P，分别作PD垂直于OA，PE垂直于OB，垂足分别为D、E。然后测量PD和PE的长度，并将数据记录在表格当中。同样的步骤，我们再做两次。同学们看，通过数据的记录，你发现了什么？
生：很明显，在三次的记录中，我们都有PD等于PE。忽略测量的误差，是不是可以大胆地猜想，只要满足上述的PD垂直于OA，PE垂直于OB，那么这时PD和PE就是相等的。