师：同学们，大家好。今天我们一起学习第十三章第四节的最短路径问题，这部分内容分两课时，第一课时就是今天要学的。下面看一道复习题。如图，从点A到点B有4条路线可选，哪一条最近呢？观察图形，第一条、第二条、第四条路线都是弯曲的，只有第三条是直线，所以答案是第三条。理由是两点的所有连线中，线段最短，这是我们七年级上学期第四章学的基本事实。
接着看第二道复习题。如图，点A是直线l外一点，点A到直线l的所有路线中，哪一条最短？观察图形，其中第二条垂直于直线l 。答案是第二条，理由是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这是七年级第五章学的基本事实。
再看第三道复习题。如图，直线l是线段AB的垂直平分线，点C是直线l上任意一点，那么线段AC和BC的数量关系是什么？因为l是线段AB的垂直平分线，所以AC等于BC，依据是线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。观察图形还能发现，点A和点B关于直线l成轴对称，那么对称轴上任一点到A点和B点的距离均相等。同学们，刚刚复习的两个基本事实“两点之间线段最短”“垂线段最短”以及线段垂直平分线的性质，都是解决最短路径问题的重要依据。下面我们探究数学史上著名的将军饮马问题。古希腊有位学者海伦，一天，一位将军向他求教一个问题：牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？海伦利用轴对称知识回答了这个问题，后来被称为将军饮马问题。
今天我们也来探究这个问题，这是实际问题，如何抽象为数学问题呢？同学们看，我们把A地和B地抽象为两个定点，把笔直的河边l抽象为一条直线，牧马人到河边饮马的地点记为点C 。因为饮马地点不确定，所以C点是直线l上的动点，C点到点A和点B的线段之和，就是牧马人从A地到C地再到B地的路径之和。现在问题是，如何找到直线l上点C的位置，使CA + CB最短。这样就把实际问题抽象为：如图，点A、B在直线l的同侧，点C是直线l上的动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？也就是在直线l上求作一点C，使AC + BC最短。这个问题乍看有点难，我们先解决另一个问题。
如图，点A、B在直线l的异侧，点C是直线l上的动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？同学们思考一下。当点A、点C、点B三点共线时，CA与CB的和最小。所以连接AB交直线l于点C ，则点C就是所求的点，依据是两点之间线段最短。
我们完成了问题2的解答，能否类比它的解题思路解决问题1呢？对比这两个问题，除了A、B与直线l的位置关系不同，其余条件都相同。能不能将问题1的同侧点转化为问题2的异侧点呢？又该如何转化？如果能把B点移到直线l的另一侧，记为B'点，且满足直线l上任意点到B点和B'点的距离相等，就能实现线段转移。这时候可以利用轴对称知识，作B点关于直线l的对称点B'点，连接AB'与直线l交于一点，记为C ，则AC + BC最短。同学们，根据老师的思路，请在稿纸上规范作图，并写出做法。
如图，A、B两点在直线l的同侧，在直线l上找到一点C，使得AC + BC最短。第一步，作点B关于直线l的对称点B'点；第二步，连接AB'交直线l于点C，则点C即为所求。同学们注意，刚刚作的是点B关于直线l的对称点B'点，那可以作点A关于l的对称点A'点吗？看老师作图。作A点关于直线l的对称点A'点，连接A'B与直线l的交点和刚才的点C重合，这说明在直线l上只存在一点C，使得AC + BC最短。