师：同学们，大家好。本节课我们来学习最短路径问题的第二课时。首先，回顾上一节课的最短路径问题。如图，在直线 l 上求作点 C，A、B 是直线 l 同侧的两个定点，C 是直线 l 上一点，如何确定点 C，使得 CA + CB 最短？
根据两点之间线段最短，可直接连接 A、B，交直线 l 于点 C，此时 CA + CB 最短。再看右边，A、B 在直线 l 同侧的情况，我们利用轴对称进行线段转化，把它变成左边两点在异侧的问题。
具体做法是：作点 B 关于直线 l 的对称点 B′，连接 AB′交直线 l 于点 C，此时 CA + CB 最短。在这个图形中，利用轴对称将线段 CB 转化为线段 CB′，从而依据两点之间线段最短，实现 CA + CB 最短。
这是上节课所学内容。本节课来看数学史上经典的造桥选址问题。如图，A 和 B 两地在一条河两岸，要在河上造一座桥 MN，桥建在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短？假定河两岸是平行直线，桥要与河岸垂直。同学们，能把这个问题转化为数学问题吗？
河两岸平行，可看成两条平行直线 a、b，A、B 两地看成两个定点，桥 MN 的位置待确定。先在河上任选位置造桥 MN，连接 AM、BM，从 A 到 B 的路径为 AM + MN + BM。折线 AMNB 在什么情况下最短呢？解决关键在于桥 MN 建在哪里，确定点 N 的位置是关键。那么，当点 N 在直线 b 上什么位置时，AM + MN + MB 最小呢？
AM + MN + MB 是三条线段和最小，而上节课研究的是两条线段和最小。该如何转化呢？在这个图形中，MN 垂直于河两岸，且两平行线 a、b 间距离相等，MN 不管在什么位置，长度不变，而 AM + BM 长度改变。所以，当 AM + BM 最小时，AM + MN + MB 就最小，这样就把问题转化为求 AM + BM 最小。
求 AM + BM 最小，类似前面学过的 A、B 在直线两侧，在直线 l 上求作点 C 使 CA + CB 最短的问题，直接连接 AB 交直线于一点，该点就是点 C。但上面图形中 AM、BN 与两条直线交于两个点，与之前交于一个点不同，此时怎么转化图形呢？
可将线段 AM 向下平移，使 AM 平移到 AN′上，利用两点之间线段最短确定点 N 的位置。
梳理一下，将点 A 沿着河岸垂直方向向下平移到 A′，使 A′与 A 的距离等于河宽，此时 A′N = MN，AM = A′M。问题就转化为当点 N 在直线 b 上什么位置时，A′M + MB 最小。利用两点之间线段最短的原理确定点 N 的位置。
具体做法如下：第一步，将点 A 向河岸垂直方向平移到 A′点，设 A′与 A 的距离等于河宽；第二步，连接 A′B 交直线 b 于点 N，过点 N 作 NM 垂直于直线 a，此时路径 AM + MN + BM 最短。
回顾一下转化过程，先明确要找桥 MN 的位置，使 AM + MN + BM 最短。因为 MN 垂直河岸且河宽是定值，所以把求 AM + MN + BM 的最小值转化为求 AM + BN 的最小值，这是第一次转化。接着，通过平移将 AM 平移到 A′M，再次利用两点之间线段最短确定点 N 的位置，当确定点 N 位置，也就知道了造桥位置，使折线 AMNB 最短。