师：同学们，大家好！今天这节课我们一起来学习14.3.2公式法第一课时——利用平方差公式进行因式分解。在开始新课之前，我们先来回忆一下上节课学的知识。
师：什么叫多项式的因式分解呢？根据定义，它是将一个多项式化成几个整式积的形式。比如，$x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)$，等式左边是多项式，右边是两个因式乘积的形式，从等式左边到右边就是因式分解。那从右边到左边是什么呢？这就是我们前面学的整式乘法。同学们，还记得上节课学的哪种因式分解的方法吗？
生：提公因式法。
师：非常好！那什么叫提公因式法分解因式呢？一般来说，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另外一个因式的乘积形式，这种分解因式的方法就叫提公因式法。提公因式法的步骤有哪些呢？
生：第一步找公因式。
师：没错，找公因式一般要注意三个关键步骤：一定系数、二定字母、三定指数。大家能用学过的知识完成几个题目吗？来看问题一，把下列各式分解因式。$ax + ay = a(x + y)$；$3mx - 6my = 3m(x - 2y)$；$2a(m + n) - 3(m + n) = (m + n)(2a - 3)$。相信大家都完成得很好。
师：下面来看一个问题情境。如图，在边长为$a$米的正方形上剪掉一个边长为$b$米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形。根据这个图形变换，你能得到什么公式？大家比较一下左右两个图形阴影部分的面积有什么关系？
生：左边图形阴影部分面积是$a^2 - b^2$，右边长方形面积是$(a + b)(a - b)$。
师：因为左右两边图形阴影部分面积相等，所以得到$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$。仔细观察这个多项式$a^2 - b^2$，它有什么特点，能用自己的语言表达出来吗？
生：是$a$、$b$两数平方差的形式。
师：很好。前面我们学过平方差公式，即$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$，这是整式乘法。现在把等式左右两边互换位置，得到$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$。等式左边是多项式，右边是两个因式乘积的形式，这样就把$a^2 - b^2$进行了因式分解。所以，我们得到了因式分解的第二种方法——平方差公式法，即$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，用文字表述就是：两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积。这里要提醒同学们，公式中的$a$和$b$不仅可以表示单项式，也可以表示多项式。而且这里的两个数指的是$a$、$b$，不是$a^2$、$b^2$。那平方差公式有什么特点呢？
生：两项，两项符号相反，能写成两个数或式的平方的形式。
师：非常正确。我们刚学了平方差公式，学以致用，来看练习。下列多项式能用平方差公式分解因式吗？请按下暂停键，认真答题。
（1）$x^2 + y^2$
生：不能用平方差公式。
（2）$x^2 - y^2$
生：可以用平方差公式。
（3）$-x^2 - y^2$
生：不可以运用平方差公式。
（4）$-x^2 + y^2$
生：可以运用平方差公式，能写成$y^2 - x^2$的形式。
（5）$x^2 - 25y^2$
生：可以运用平方差公式，可分解为$(x + 5y)(x - 5y)$。
（6）$m^2 - 1$
生：可以运用平方差公式，可分解为$(m + 1)(m - 1)$。
师：通过练习，我们进一步明确，能用平方差公式分解因式的多项式一般有三个特点：含有两项，两项符号相反，两项是数或式子的平方的形式。相信大家刚才完成得很不错，带着自信，我们继续看例题解析。
例1分解因式：
（1）$4x^2 - 9$
（2）$(x + p)^2 - (x + q)^2$
师：对于第一小题，这个多项式含有两项，能不能利用平方差公式分解因式呢？利用平方差公式需满足三个条件：两项异号，且是数或式平方的形式。$4x^2$可以写成$(2x)^2$，$9$可以写成$3^2$，所以第一小题可以利用平方差公式分解为$(2x - 3)(2x + 3)$。
师：再看第二小题，这个小题可以利用平方差公式分解因式吗？要知道平方差公式中的$a$和$b$不仅代表单项式，也可以代表多项式。这里$x + p$相当于公式中的$a$，$x + q$相当于公式中的$b$，所以第二小题可以分解为$(x + p + x + q)(x + p - x - q)$。分解到这一步任务完成了吗？
生：没有，要化为最简。
师：对，进一步计算化简，结果等于$(2x + p + q)(p - q)$。