师：大家好，今天由我来和大家一起学习 15.3 分式方程第一课时。首先，我们来看一道实际问题。一艘轮船在静水中的最大航速为 30 千米每时，它沿江以最大航速顺流航行 90 千米所用的时间，与以最大航速逆流航行 60 千米所用的时间相等。江水的流速为多少？这是一道轮船顺逆流航行的问题，我们知道船在顺水中的速度等于船在静水中的速度加上水流速度，船在逆水中的速度等于船在静水中的速度减去水流速度。我们采用表格分析的方法，设江水的流速为 v 千米每小时。根据题目，顺流航行 90 千米，所以船在顺水中航行的路程为 90 千米；逆流航行 60 千米，船在逆水中航行的路程为 60 千米。已知船在静水中的最大航速为 30 千米每时，设水流速度为 v 千米每时，那么船在顺水航行的速度为（30 + v）千米每时，船在逆水中的航行速度为（30 - v）千米每时。又根据公式“时间 = 路程÷速度”，所以船在顺水中航行的时间为$\frac{90}{30 + v}$小时，船在逆水中航行的时间为$\frac{60}{30 - v}$小时。题目提到所用时间相等，所以等量关系为：顺流航行 90 千米的时间等于逆流航行 60 千米的时间，由此可列出等式：$\frac{90}{30 + v} = \frac{60}{30 - v}$。
接下来，我们再看一道实际问题。两个工程队共同参与一项修路工程，甲队单独施工一个月，完成总工程的$\frac{1}{3}$，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成。哪个队的施工速度快？这是一道工程问题，我们知道工作总量 = 工作时间×工作效率。同样采用表格分析的方法，设乙队单独施工一个月完成总工程的$\frac{1}{x}$，那么乙队的工作效率就是$\frac{1}{x}$。由题目可知甲队单独施工一个月完成总工程的$\frac{1}{3}$，所以甲队的工作效率为$\frac{1}{3}$。甲单独施工一个月，两队又共同工作了半个月，所以甲队的工作时间为$1 + \frac{1}{2}$个月，乙队的工作时间为$\frac{1}{2}$个月。根据“工作总量 = 工作时间×工作效率”，甲队的工作总量为$\frac{1}{3}×(1 + \frac{1}{2})$，乙队的工作总量为$\frac{1}{2}×\frac{1}{x} = \frac{1}{2x}$。在工程问题中，我们常把工作总量看作单位“1”，所以等量关系为：甲队完成的工作总量加上乙队完成的工作总量等于 1，由此可列出等式：$\frac{1}{3}×(1 + \frac{1}{2}) + \frac{1}{2x} = 1$，化简可得：$\frac{1}{2} + \frac{1}{2x} = 1$。
我们发现$\frac{90}{30 + v} = \frac{60}{30 - v}$和$\frac{1}{2} + \frac{1}{2x} = 1$，都是含有未知数的等式，我们把它们称之为方程。同学们回忆一下，我们学过哪些方程？
生：一元一次方程和二元一次方程。
师：很好，那你们还记得它们的定义吗？
生：一元一次方程是含有一个未知数且未知数的最高次数为 1 的整式方程；二元一次方程是含有两个未知数且未知数的最高次数为 1 的整式方程。
师：通过回忆，我们发现学过的这两个方程均为整式方程。那我们刚刚得到的方程$\frac{90}{30 + v} = \frac{60}{30 - v}$和$\frac{1}{2} + \frac{1}{2x} = 1$，它们是整式方程吗？
生：不是，因为等号两边是分式。
师：对，这就是我们今天要研究的分式方程。它和我们之前学习的整式方程有什么区别呢？
生：分式方程的分母中含有未知数。
师：由此，我们可以得到分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。通过观察，我们发现分式方程有两个特征，一是它是等式，二是分母中含有未知数。下面我们来分析一下下列关于 x 的方程中哪些是分式方程，为什么？第一题，$\frac{2}{x} = 3$，它是分母中含有未知数 x 的方程，并且是等式，所以它是分式方程。第二题，$\frac{x}{2} = 5$，虽然它是等式，但分母中不含有未知数，所以它不是分式方程。第三题，$x^2 + 2x - \frac{1}{5} = 6$，同样是等式，但分母中不含有未知数，所以它不是分式方程。第四题，$\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x}$，虽然分母中含有未知数 x，但它不是等式，所以它不是分式方程。第五题，$\frac{1}{x} + x = 1$，分母中含有未知数 x，并且是等式，所以它是分式方程。第六题，$\frac{1}{2}x^2 - \frac{2}{a} = 1$，它是不是分式方程呢？这一题，它虽然是等式，分母中含有字母，但含有的是字母 a，题干中给出是关于 x 的方程，所以它不是分式方程。通过这道辨别分析的题目，同学们已经掌握了辨别分式方程的方法，要同时满足两个条件：一是等式，二是分母中含有未知数。并且要注意题干所给信息，以防出现第六题这种情况。
上面我们学习了什么是分式方程，下面我们来学习如何解分式方程。在此之前，我们先来回忆一下一元一次方程是如何求解的。通过一道例题来回忆解一元一次方程的步骤，解方程$\frac{3}{2}x + 1 - 2 = \frac{3}{10}x - 2 - \frac{2}{5}x + 3$。通过观察，我们发现这个方程中含有分母，首先要去分母，两边同乘 10 去分母得：$5(3x + 1) - 2×10 = (3x - 2) - 2(2x + 3)$。在去分母的过程中，要注意同乘的数要乘遍每一项。接下来去括号得：$15x + 5 - 20 = 3x - 2 - 4x - 6$。去括号时要注意，括号外的数要乘遍括号内的每一项，括号外是负数时，括号内每一项要变号。接下来移项得：$15x - 3x + 4x = - 2 - 6 - 5 + 20$。移项过程中要注意，从等号的一侧移到另一侧要变号，通常我们把含有未知数的项放在等号左侧，常数项放在等号右侧。接下来合并同类项得：$16x = 7$，系数化为 1 得：$x = \frac{7}{16}$。