师：同学们好，下面我们一起来学习 15.3 分式方程第三课时。铜陵因铜得名、以铜而兴，素有“中国古铜都”“当代铜基地”之称。近期，铜陵打造 5G 产业集聚区的工作开展得如火如荼，很多项目工程建设需要用数学知识来解决。今天这节课，我们就一起来学习如何用分式方程解决实际问题。首先来看这道工程问题。
例一，为规划铜陵 5G 产业园区，有两个工程队共同参与一项园内筑路工程。甲队先单独施工一个月，完成总工程的 1/3 ，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成。哪个队的施工速度快呢？
工程问题涉及的公式是工作总量 = 工作效率×工作时间。题目中提到甲队先单独施工一个月完成总工程的 1/3 ，所以甲队的工作效率是 1/3 。设乙队的工作效率为 1/x 。甲队先单独施工一个月，两队又共同工作了半个月，所以甲队的工作时间为 1 + 1/2 = 3/2 ，乙队的工作时间为 1/2 。根据工作总量 = 工作效率×工作时间，可得甲队的工作总量为 3/2×1/3 ，乙队的工作总量为 1/2×1/x 。
题目中总工程全部完成，意味着等量关系为甲队完成的工作总量 + 乙队完成的工作总量 = 1 ，所以方程为 3/2×1/3 + 1/2×1/x = 1 。以上是本道题的分析过程，下面给出解答过程。
解：设乙单独完成这项工程需要 x 个月。甲的工作效率是 1/3 。根据题意，得(1 + 1/2)×1/3 + 1/2×1/x = 1 。方程两边同时乘以 2x ，得到 x + 1 = 2x ，通过移项合并同类项可得 x = 1 。
下面进行检验。将 x = 1 代入到 2x 中，最简公分母不等于 0 ，说明它是原分式方程的解，同时 x = 1 也符合实际。
答：乙队单独施工一个月可以完成全部任务，而甲队单独施工需 3 个月才可以完成全部任务，所以乙队的施工速度快。
想一想，本题的等量关系还可以怎么找呢？如果等量关系为甲队单独完成的工作总量 + 两队合作完成的工作总量 = 1 ，此时表格怎么列？方程又怎么列呢？请同学们课后完成这道题的解答过程。
根据这道题的分析和解答过程，我们来梳理下列分式方程解应用题的一般步骤：
一、审：分析题意，找出数量关系和相等关系。
二、设：选择恰当的未知数。
三、列：根据数量和相等关系正确列出代数式和方程。
四、解：解这个分式方程。
五、验：双检验，一是看是否是分式方程的解，将解代入到最简公分母中判断是否为 0 ；二是看是否符合实际意义。
六、答：答题时注意问题是什么，注意单位和语言的完整。
在解决工程问题时，还需注意以下几点：题目中有“单独”字眼，通常可知工作效率；通常间接设元，如某某单独完成需多少单位时间，则可表示出其工作效率；弄清基本的数量关系，如本题中合作的功效 = 甲乙两队工作效率的和；解题方法可概括为“321”，“3”指该类问题中的三量关系，如工程问题有工作效率、工作时间、工作量；“2”指该类问题中的两个主人公，如甲队和乙队，或者甲单独和两队合作；“1”指该问题中的一个等量关系，如工程问题中的等量关系是两个主人公工作总量之和等于全部工作总量。
我们再来利用刚才所学知识，解决下面这道工程问题。
现派两个医疗队共同支援某医院核酸检测工作。甲队单独做正好按时完成，而乙队由于人少，单独做则超过规定时间 3 个小时才能完成。现甲乙两队合作 2 小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成。求甲乙两队单独完成医院全部核酸工作各需多少小时呢？
工程问题涉及的公式为工作总量 = 工作效率×工作时间。甲队单独做正好按时完成，设甲单独完成这项工作需要 x 小时，所以甲队的工作效率为 1/x 。乙队单独做超过规定时间 3 个小时才能完成，所以乙队的工作效率为 1/(x + 3) 。
甲乙两队合作 2 小时，甲的工作时间为 2 ，余下的由乙队单独做刚好按期完成，所以乙队的工作时间为 x 。根据公式可得甲队的工作总量为 2/x ，乙队的工作总量为 x/(x + 3) 。本道题的等量关系为甲功效×2 + 乙功效×甲队单独完成需要时间 = 1 ，所以可列出方程 2/x + x/(x + 3) = 1 。
以上是本道题的分析过程，下面给出完整的解答过程。
解：设甲队单独完成需要 x 小时，则乙队需要 x + 3 小时。由题意得 2/x + x/(x + 3) = 1 。通过移项合并同类项解得 x = 6 ，将 x = 6 代入到原分式方程的公分母中。经检验，x = 6 是方程的解，所以 x + 3 = 9 。
答：甲单独完成全部工程需 6 小时，乙单独完成全部工程需要 9 小时。
下面我们继续探究分式方程在解决行程问题方面的方法。来看例 2 。
某次列车平均提速 v 千米/小时，用相同的时间列车提速前行驶 s 千米，提速后比提速前多行驶 50 千米。提速前列车的平均速度为多少呢？
这是一道行程问题，涉及公式为路程 = 速度×时间。
设提速前列车的速度为 x 千米/小时，平均提速 v 千米/小时，所以提速后的速度为 x + v 千米/小时。列车提速前行驶 s 千米，所以提速前的路程为 s 千米；提速后比提速前多行驶 50 千米，所以提速后的路程为 s + 50 千米。由路程 = 速度×时间可得时间 = 路程÷速度，那么提速前的时间为 s/x 小时，提速后的时间为(s + 50)/(x + v) 小时。这道题的等量关系为提速前的时间 = 提速后的时间，从而可列出方程 s/x = (s + 50)/(x + v) 。