师：同学们，大家好。今天我们继续学习第十四章整式的乘除与因式分解的小结第二课时。上节课我们小结了幂的运算、整式的乘除以及整式乘法的两个公式，本节课我们一起小结因式分解。因式分解是初中数学重要的恒等变形，也是解决很多数学问题的工具，学好它能为后续学习打好基础，培养运算能力和思维发展能力。接下来进入本节课内容。
首先进行因式分解的知识梳理。
定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，注意因式分解是恒等变形。
方法：
提取公因式法：对于(Am + Bm + Cm)的形式，可提取公因式(m)，结果为(m(A + B + C)) 。
公式法：常见的有两项的平方差，(a2 - b2 = (a - b)(a + b))；还有二次三项式，(a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2) 。
因式分解的应用：利用因式分解求值、简化计算、解决整除问题。
接下来学习因式分解的题型。
题型1：分解因式
例1：观察下列各式：
- (2a + b)和(a + b)；
- (5mn(a - b))和(-a + b)；
- ((a + b))和(-a - b)；
- (a2 - b2)和(a2 + b2)。
其中有公因式的是？通过观察发现，（2）（3）中有公因式。利用添括号法则，（2）中(-a + b = -(a - b)) ，（3）中(-a - b = -(a + b)) ，所以（2）（3）中有公因式(a - b)和(a + b)，答案选（2）和（3）。由此小结添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括号里面的各项符号不改变；如果括号前面是负号，括到括号里面的各项符号都要改变，简记为“负变正不变”。
例2：分解因式
- 第一小问：(a2 + ab - a) 。式中有公因式(a)，提取公因式(a)后，结果为(a(a + b - 1)) 。这里要注意，提取公因式后，第三项(a)留下(1)守住位置，否则原式三项式提取后括号里只有两项，就不是恒等变形了。
- 第二小问：(a(a - b) + b(b - a)) 。发现(a - b)和(b - a)可转化为相同因式，将式子变形为(a(a - b) - b(a - b)) ，提出公因式(a - b)，答案为((a - b)(a - b) = (a - b)2) ，出现相同因式要转换成幂的形式。
- 第三小问：(a3 - 4a) 。有公因式(a)，提取公因式(a)后，括号里(a2 - 4)满足两项平方差形式，进一步转化为(a(a - 2)(a + 2)) 。
- 第四小问：(-4a3b - 8a2b + 4ab) 。首项有负号，优先提出负号，观察各项系数、字母及指数，公因式为(-4ab)，提出后括号里各项符号改变，得到(-4ab(a2 + 2a - 1)) ，括号里是二次三项式，满足完全平方公式形式，最终结果为(-4ab(a + 1)2) 。
通过这4个小问，总结因式分解步骤：一提公因式，二套公式，三检查，确保因式分解彻底。
题型2：分解因式在计算中的应用
例3：用简便方法计算下列各式
- 第一小问：(1752×4 - 252×4) 。显然有公因式(4)，提取(4)后，括号里(1752 - 252)满足平方差形式，进一步分解为(4×(175 - 25)×(175 + 25)) ，结果为(4×150×200 = 120000) 。
- 第二小问：(1062 - 106×12 + 62) 。发现它满足完全平方形式，把(12)理解为(2×6) ，式子转化为(1062 - 2×106×6 + 62) ，首项是(106)，尾项是(6)，根据完全平方公式可得((106 - 6)2 = 1002 = 10000) 。
学习后进行练习，请同学们暂停视频在草稿纸上完成。核对答案：第一小问原式等于(3.98)；第二小问原式等于(-2022)；第三小问原式等于(-2^{100}) 。同学们对照答案，如有错误找出原因。
题型3：利用因式分解求值
例4：已知(a - 4b = -3)，(ab = 4)，求(-a3b + 8a2b2 - 16ab3)的值。先将多项式提出负号及公因式，转化为(-ab(a2 - 8ab + 16b2)) ，括号里二次三项式满足完全平方形式，进一步写成(-ab(a - 4b)2) 。因式分解后发现式子中有(a - 4b)和(ab)这两个整体，整体代入已知条件，原式(= -4×(-3)2 = -36) 。本题条件不易求出(a)、(b)的值，通过因式分解变形后整体代入求值。