师：同学们，上节课我们一起复习了三角形全等的性质和判定，本节课我将带领大家复习角平分线的性质和判定相关内容。本节课主要有三方面内容：一是知识回顾，角平分线的性质和判定定理；二是方法回顾，探讨如何灵活运用角平分线的性质和判定定理解决问题，学会利用辅助线解决相关问题；三是典型例题，讲解角平分线类问题常用的辅助线做法。在学习新课之前，请同学们回忆一下角平分线的性质和判定定理的内容是什么？
首先，文字语言表述为：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。转化为数学符号语言就是：因为OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，所以PD = PE 。简单记忆方法是：已知角分和双垂推相等。
其次，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。符号语言为：因为PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE，所以点P在∠AOB的平分线上。简单记忆方法为：已知双垂和等距推角分。
下面我们来看通过添加辅助线，结合角平分线的性质定理和判定定理能解决哪些问题。
类型一，角平分线上的点向两边做垂线。
如图，P是∠MON平分线上的点，过点P作PA⊥OM于A点，PB⊥ON于B点。结论：PA = PB 。分析：利用角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等，构造边相等，为三角形全等创造更多条件，进而快速找到解题突破口。
请看例一，如图，在△ABC中，∠C = 90°，AD平分∠CAB，BC = 6，BD = 4。那么点D到直线AB的距离是多少？分析：要求D点到直线AB的距离，就是求D点到直线AB垂线段的长度。所以我们要过点D作直线AB的垂线段，再根据角平分线的性质结合条件求出结果。
过程：过D点作AB的垂线，垂足记为点E。因为AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，所以DE = CD，又因为CD = BC - BD = 6 - 4 = 2，故本题答案为2 。
下面请同学们思考练习一。如图，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4。求证：AP平分∠BAC 。我们一起来分析。要想证明AP平分∠BAC，只需要证明点P到AB和AC的距离相等即可。结合P点为△ABC两外角平分线交点，我们联想到过点P作AB、AC、BC所在直线的垂线段。利用角平分线的性质定理和判定定理证明结论。
解题过程：证明，过P点作AB、AC、BC所在直线的垂线，垂足分别记为D、E、F。因为∠1 = ∠2，PD⊥AB，PF⊥BC，所以PD = PF。同理，PE = PF，所以PD = PF = PE。又因为PD⊥AB，PE⊥AC，所以AP平分∠BAC得证。
下面我们来看第二种类型的辅助线——截取构造对称全等。
如图，P是∠MON平分线上一点，点A是射线OM上的任意一点。我们在ON上截取OB = OA，连接PB，结论为△OPB≌△OPA 。分析：利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是常用的解题技巧。
比如例2，如图，在△ABC中，∠A = 2∠B，CD是∠ACB的平分线，AC = 16，AD = 8。求线段BC的长度。我们来分析一下，要求线段BC长度，结合题目条件AC = 16，AD = 8，可以联想到在较长的BC上截取一条线段CE = AC，从而构造对称全等，再结合全等三角形性质和等腰三角形的性质解决本题。
过程：在CB上截取CE = AC = 16，连接DE。因为CD平分∠ACB，所以∠ACD = ∠ECD。又因为AC = EC，CD = CD，所以△ACD≌△ECD（判定依据为SAS）。所以∠A = ∠CED = 2∠B，AD = DE = 8。在△BDE中，∠B + ∠BDE = ∠CED = 2∠B。由此得到∠B = ∠BDE。所以BE = DE = AD = 8。最后BC = CE + BE = 16 + 8 = 24，即BC的长度为24 。
请同学们思考练习二。如图，在△ABC中，AB = AC，∠A = 108°，BD平分∠ABC。求证：BC = AB + CD 。分析：证明两条线段的和等于一条线段是初中阶段常考题型，常用方法为截长或补短法。根据本题在角平分线的情境中，可以通过在BC上截取BE = AB，从而构造对称全等来解决本题。
过程：在BC上截取BE = BA，连接DE。因为BD平分∠ABC，所以∠ABD = ∠EBD。又因为AB = EB，BD = BD，所以△ABD≌△EBD（判定依据为SAS）。所以∠BED = ∠A = 108°，所以∠CED = 180° - 108° = 72°。又因为AB = AC，∠A = 108°，所以∠ABC = ∠C =（180° - 108°）÷ 2 = 36°。在△CDE中，因为∠C = 36°，∠CED = 72°，所以∠CDE = 180° - 36° - 72° = 72°。故∠CED = ∠CDE = 72°，所以CD = CE，所以BC = BE + CE = AB + CD得证。