师：同学们好，欢迎大家走进今天的数学课堂，本节课我们将共同学习初中数学人民教育出版社八年级上册第15章的数学活动——探究比例的性质。同学们，你们知道日常生活中使用的A4纸的由来吗？首先，请每位同学拿出一张白纸，奇数组同学拿出A4纸，偶数组同学拿出A3纸。请大家用手中的工具测量出它们的长和宽，精确到毫米，开始。
（学生测量）
师：好了，同学们应该都测量出A3和A4纸张长和宽的长度了。我们来看看奇数组代表测量的结果。
生：奇数组测量结果是长297毫米，宽210毫米。
师：偶数组代表呢？
生：偶数组测量结果是长420毫米，宽297毫米。
师：奇数组同学手中拿的是我们平时打印和复印常用的A4纸，偶数组同学手中拿的纸大一些，是我们复印试卷常用的A3纸，它们都是国际通用标准的纸张。那a系列纸张是怎么来的呢？一张A0的纸张，沿着长边对折一分为二，就得到两张A1纸。再沿着长边对折得到A2纸，如此下去就得到A3、A4纸了。并且A0、A1、A2、A3、A4纸必须遵循一条原则，即它们长宽的比值不变。那这个比值是什么呢？请同学们把A3、A4纸张长宽的比值计算出来。如果用字母a和c表示长，用字母b和d表示宽，那么可以列出一个怎样的等式呢？这个等式叫什么名字？
生：a比b等于c比d或b分之a等于d分之c，这个等式叫做比例。
师：很好。我们在小学的时候就学习了比例的意义和比例的基本性质，你能说一说吗？
生：比例的意义是，如果两个数a与b的比等于另外两个数c与d的比，则称这四个数a、b、c、d成比例，记作a比b等于c比d或者b分之a等于d分之c。其中a与b称为比例前项，c与d称为比例后项，a与d称为比例的外项，b与c称为比例的内项。比例的基本性质是，如果a比b等于c比d或b分之a等于d分之c，其中b、d均不为0，那么ad等于bc。反过来，如果ad等于bc，那么b分之a等于d分之c，用式子表示为，b分之a等于d分之c等价于ad等于bc，其中b、d均不为0。
师：那么比例还有哪些性质呢？请同学们任意取4个都不是0的数，第一个对应a，第二个对应b，第三个对应c，第四个对应d。当b分之a等于d分之c时，探究下面各组两个式子之间的关系。一、c分之a和d分之b；二、a分之b和c分之d；三、b分之a加b和d分之c加d；四、a减b分之a加b和c减d分之c加d。下面以小组为单位，请同学们交流所列举的数和发现的结果。
（学生小组交流）
师：通过各小组的取值，我们可以计算发现当b分之a等于d分之c时，前面提到的这几组的值是相等的。同学们，你们列的几组数是相等的吗？
生：是相等的。
师：很好，那么当b分之a不等于d分之c时，即前两个数的比值与后两个数的比值不相等时，思考以下几组式子的值是否相等呢？
生：当前两个数的比值与后两个数的比值不相等时，即a、b、c、d四个数不成比例时，这几组式子的值就不会相等。
师：我们反过来思考，能使这几组式子相等的4个数据到底有什么数量关系，不能使这些式子相等的数据又有什么数量关系呢？
生：这4个数成比例时，这几组式子的值就分别相等。如果这4个数不成比例，那么这几组式子的值就不会相等。
师：大家猜想，如果把数拓展到式，即从特殊到一般，这几组式子之间的数量关系还存在吗？在数学上要证明一个命题的正确性，不能只靠几组特殊数据来说明，必须要经过严格的证明才可以。下面请以小组为单位讨论交流大家的猜想是否成立，如果成立，请加以证明，如果认为不成立，请找出反例来说明。特别提示，小学时我们已经用过和学过比例的基本性质。现在我们要证明的是两个分式相等，可以考虑利用分式的基本性质和运用法则来解决问题，还可以先观察看看我们要探究的式子是比的形式，还可以考虑比值，同学们试一试吧。
（学生小组讨论证明）
师：下面我们就用分式基本性质和比例基本性质的应用加以证明。一、证明，因为a、b、c、d都不等于0，并且b分之a等于d分之c，所以交叉相乘得ad等于bc，两边同除以cd得cd分之ad等于cd分之bc，两边约分得c分之a等于d分之b。二、证明，因为a、b、c、d都不等于0，并且b分之a等于d分之c，所以交叉相乘得ad等于bc，两边同除以ac得ac分之ad等于ac分之bc，两边约分得c分之d等于a分之b，即a分之b等于c分之d。三、证明，因为a、b、c、d都不等于0，并且b分之a等于d分之c，我们把等式两边同时加上1得b分之a加1等于d分之c加1。这个地方我们把1看成b分之b和d分之d，通分得b分之a加b等于d分之c加d。四、证明，因为a、b、c、d都不等于0，并且b分之a等于d分之c。把a减b分之a加b，分子与分母同时除以b得a减b分之a加b等于b分之a减b分之b分之a加b等于b分之a减1分之b分之a加1，由b分之a加1等于d分之c加1，b分之a减1等于d分之c减1，分子分母同时通分，等于d分之c减d分之d分之c加d，约分得c减d分之c加d，所以a减b分之a加b等于c减d分之c加d，其中a不等于b，c不等于d。同学们，你们还有其他的方法吗？