师：同学们好，今天我们来学习人教版八年级上册第十四章第二节乘法公式第二课时——完全平方公式。上节课我们学习了平方差公式，满足((a + b)(a - b) = a^2 - b^2)这样规律的式子叫做平方差公式。从结构形式上看，两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差，它能简化运算、提高效率，是多项式乘多项式的特殊情形。
我们知道(a^2)表示两个(a)相乘，即(a^2 = a×a) ，还学习过多项式乘多项式法则：多项式与多项式相乘，先把一个多项式的每一项分别同另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。下面我们计算下列多项式的积，看看能发现什么规律。
第一道题，((p + 1)^2)，可写成((p + 1)(p + 1))，运用多项式乘多项式法则展开得到(p^2 + p + p + 1)，合并同类项得(p^2 + 2p + 1) ，所以((p + 1)^2 = p^2 + 2p + 1)。
第二道题，((m + 2)^2)，根据乘方定义写成((m + 2)(m + 2))，按多项式乘多项式法则展开得到(m^2 + 2m + 2m + 4)，合并同类项得(m^2 + 4m + 4)，即((m + 2)^2 = m^2 + 4m + 4)。
观察这两个等式，等号左边是两个数的和的平方，等号右边都是二次三项式。第一个式子可变形为(p^2 + 2×p×1 + 1^2)，第二个式子可变形为(m^2 + 2×m×2 + 2^2)。若把等号左边两数和的平方表示为((a + b)^2)，大家猜想一下，((a + b)^2)等于什么呢？
生：((a + b)^2)应该等于(a^2 + 2ab + b^2) 。
师：这个猜想正不正确呢？怎样说明它的合理性？我们用多项式乘以多项式的方法来验证。((a + b)^2)根据乘方定义写成((a + b)(a + b))，依据多项式乘多项式法则展开得到(a^2 + ab + ab + b^2)，合并同类项得(a^2 + 2ab + b^2)。
现在把((a + b)^2)换成((a - b)^2)，同学们能类比两数和的完全平方学习过程，得到两数差的完全平方的结果吗？同样，我们计算下面多项式的积，看看有什么规律。
第三道题，((p - 1)^2)，利用乘方定义写成((p - 1)(p - 1))，利用多项式乘多项式法则展开得到(p^2 - p - p + 1)，合并同类项得(p^2 - 2p + 1)。
第四道题，((m - 2)^2 = (m - 2)(m - 2))，利用多项式乘多项式法则展开得到(m^2 - 2m - 2m + 4)，合并同类项得(m^2 - 4m + 4)。
类比两数和的完全平方，我们发现第三题((p - 1)^2)的结果(p^2 - 2p + 1)可写成(p^2 - 2×p×1 + 1^2) ，第四题((m - 2)^2)的结果(m^2 - 4m + 4)可写成(m^2 - 2×m×2 + 2^2)。大家猜想一下，((a - b)^2)等于什么呢？
生：((a - b)^2)应该等于(a^2 - 2ab + b^2)。
师：能运用多项式乘法则说明这个公式成立吗？((a - b)^2)利用乘方定义写成((a - b)(a - b))，利用多项式乘多项式法则展开得到(a^2 - ab - ab + b^2)，合并同类项得(a^2 - 2ab + b^2)，从多项式乘法则验证了这个公式的正确性。
两数(a)、(b)和或差的平方，可分别表示为((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2)，((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2) 。完全平方公式用文字描述就是：两数的和或差的平方，等于这两个数的平方和加上或减去它们积的(2)倍。观察发现完全平方公式是多项式乘法((a + b)(p + q))中当(p = a)，(q = b)的特殊情形。
什么样的多项式相乘可以用完全平方公式呢？来看完全平方公式的结构特点：((a ± b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2)，公式左边是二项式的平方，这个二项式表示两数的和或两数的差；公式右边是两数的平方和加或减去这两个数乘积的(2)倍。老师教大家一个记忆口诀：(a)相当于首项，(b)相当于尾项，“首平方，尾平方，两倍乘积放中央”。
我们刚才通过多项式乘法法则验证了完全平方公式，还有其他办法解释它的合理性吗？看这幅图，能根据图形面积说明完全平方公式吗？求边长为((a + b))的正方形面积，用整体法，面积等于边长乘边长，可写成((a + b)^2)；也可把它分割成四个部分：一个边长为(a)的正方形、一个边长为(b)的正方形，还有两个边长分别为(a)和(b)的长方形，这四个部分面积之和也是图形面积，可表示为(a^2 + ab + ab + b^2)。从整体法和部分法表示的是同一个正方形面积，所以((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2)。
再看两数差的完全平方的几何解释，这幅图中，求边长为(a - b)的正方形面积。从整体看，深粉色正方形面积为((a - b)^2)；从部分看，可把大正方形(a^2)减去两个长为(a)、宽为(b)的长方形面积，再加上边长为(b)的正方形面积，列算式为(a^2 - ab - ab + b^2) 。因为从整体和部分表示的是同一个图形面积，所以((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2)，从几何角度验证了两数差的完全平方。
通过前面学习，我们得到两数和或差的完全平方等于这两个数平方和加或减去它们积的(2)倍。下面运用完全平方公式做几道习题。
注意能否运用完全平方公式，要找到首项(a)、尾项(b)，所得结果应为首项(a)和尾项(b)的平方和加或减它们积的(2)倍，还要关注(2ab)前面的符号是正号还是负号。如果是((a + b)^2)，则(2ab)前面是正号；如果是((a - b)^2)，则(2ab)前面是负号。并且(ab)可以表示数，也可以表示式子。
第一道题，((4m + n)^2)，(4m)相当于(a)，(n)相当于公式中的(b)，根据完全平方公式，它符合结构特点，可写成((4m + n)^2 = (4m)^2 + 2×(4m)×n + n^2 = 16m^2 + 8mn + n^2)。
第二道题，((y - \frac{1}{2})^2)，观察发现它满足((a - b)^2)的形式，(y)相当于公式中的(a)，(\frac{1}{2})相当于公式中的(b)，(2ab)前面为负号，即((y - \frac{1}{2})^2 = y^2 - 2×y×\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 = y^2 - y + \frac{1}{4})。