师：今天授课的题目是初中数学人教版八年级上册第13章第一节《线段垂直平分线的性质》的第一课时。某区政府计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问建在何处，才能使它到三个小区的距离相等？我们从线段垂直平分线的性质开始研究，来解决上述问题。
大家看，这里有直线l垂直平分AB，P1、P2、P3是直线l上的点。请同学们量一量线段P1A、P1B、P2A、P2B、P3A、P3B的长度，然后猜想一下，P1A和P1B、P2A和P2B、P3A和P3B之间有怎样的数量关系？
生：（度量后）P1A等于P1B，P2A等于P2B，P3A等于P3B。
师：很好。这里结论成立的前提是l垂直平分AB，且P1、P2、P3是直线l上的点。由此我们猜想，P1、P2、P3到A点与B点的距离分别相等。那么，我们能用自己的语言把这个结论叙述出来吗？这个结论的条件是线段垂直平分线，结论是线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。我们能验证这一结论吗？现在转化为几何格式，如图，直线l垂直AB，垂足为C点，且AC = CB，点P在直线l上，也就是l垂直平分AB，求证PA = PB。
生：因为l垂直于AB，所以∠PCA = ∠PCB。又因为AC = BC，PC = PC（公共边），依据边角边，可得到△PCA ≌ △PCB，所以PA = PB。
师：通过验证，我们发现这个命题是真命题，它就是线段垂直平分线的性质。用语言叙述就是：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。一般应用格式是：因为直线l是线段AB的垂直平分线，点P在l上，所以PA = PB。它的作用是证明两条线段相等，以前我们通常用三角形全等来证明，现在可以通过线段垂直平分线的性质来证明。
下面看例一，如图，在△ABC中，AB = AC = 20厘米，DE垂直平分AB，垂足为E点，交AC于D点。这里要关注DE垂直平分AB，已知△DBC的周长为35厘米，问BC的长为多少？大家想想刚才讲的线段垂直平分线的性质，抓住DE垂直平分AB，能得到什么？
生：AD = BD。
师：对，已知△DBC周长为35厘米，即DB + DC + BC = 35，又因为AB = AC = 20厘米，且AD = BD，那么AD + DC = BD + DC。现在能算出BC的长吗？
生：能。因为△DBC周长 = BC + BD + DC = 35，又因为DE垂直平分AB，所以AD = BD，等量代换可得BC + AD + DC = 35。又因为AC = AD + DC = 20厘米，所以BC = 35 - 20 = 15厘米。
师：从这个例题可以总结出，我们能利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长。下面看例2，如图，在△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P，求证PA = PB = PC。大家想想怎么证明？
生：因为点P在线段AB的垂直平分线上，所以PA = PB。同理，因为点P也在线段BC垂直平分线上，所以PB = PC。根据等量代换，所以PA = PB = PC。
师：证明过程要注重几何书写格式，写：因为点P在线段AB的垂直平分线MN上，所以PA = PB。同理，PB = PC，所以PA = PB = PC。现在学了这个内容，能想到方法确定刚才提出的购物中心的位置吗？我们可以把三个小区看成三个点，对应A、B、C三点。
生：可以连接AB、BC，分别作AB、BC的垂直平分线，交点P到A、B、C三点的距离相等，P点就是购物中心的位置。
师：非常好，这体现了数学知识能解决生活中的实际问题。接下来看第二个内容，线段垂直平分线的判定。性质定理和判定定理有什么区别呢？刚才是已知直线l垂直平分AB，得出PA = PB，现在反过来，如果PA = PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？转化为数学问题就是：已知如图，PA = PB，求证点P在线段AB的垂直平分线上。对于这样的证明题，通常怎么做呢？
生：构建新的三角形，过P点作PC垂直于AB于点C。
师：对，这样做后能得到什么呢？
生：因为作了垂直，所以∠PCA = ∠PCB = 90°。在Rt△PCA和Rt△PCB中，斜边PA = PB，PC = PC（公共边），根据斜边直角边，Rt△PCA ≌ Rt△PCB，所以AC = BC，即C为AB的中点。又因为PC垂直于AB，所以PC既垂直又平分AB，所以点P在线段AB的垂直平分线上。