师：同学们好，前面两节课我们学习了平面直角坐标系的相关知识，学会了如何建立平面直角坐标系，也掌握了根据点的坐标在平面直角坐标系中描点，以及根据点在坐标系中的位置写出其坐标。今天这节课，我们将继续探究平面直角坐标系中点的坐标，看看它还能帮助我们解决哪些问题。
首先，我们一起回忆一下如何根据点的坐标在平面直角坐标系中描点。来试一试，在平面直角坐标系中描出点A，它的坐标是(5,1)。因为点A的横坐标是5，所以先在x轴上找到点(5,0)，过这一点作一条垂直于x轴的垂线；纵坐标是1，就在y轴上找到点(0,1)，经过这一点作一条垂直于y轴的直线，两条直线相交就得到了点A。
好，接下来请同学们仿照这个方法，在同一个平面直角坐标系中描出点B，它的坐标是(2,1)。由于点B的纵坐标是1，所以点B一定在这条直线上。下面只要在x轴上找到点(2,0)，经过(2,0)作一条垂直于x轴的直线，这两条直线相交就得到了点B。
好，下面我们把点A和点B连接起来，得到线段AB。请同学们思考一下，线段AB的长度是多少呢？我们观察可知，点A与点B纵坐标相等，都为1。为了求出点A与点B之间的距离，只要用A点的横坐标减去B点的横坐标即可，所以线段AB的长度等于5 - 2 = 3。
接下来，请同学们在这个坐标系当中描出第三个点C，坐标是(2,-3)。根据刚才所说，我们先在y轴上找到(0,-3)这一点，过它作一条垂直于y轴的直线，这条直线与刚才经过(2,0)垂直于x轴的直线相交，交点就是我们要找的点C。类似的，我们把B和C连接起来，得到线段BC。请同学们思考，能不能求出线段BC的长度呢？我们看到点B与点C横坐标相同，纵坐标不同，分别是1和 -3。所以为了求出线段BC的长度，只需要用点B的纵坐标减去点C的纵坐标，即线段BC的长度为1 - (-3) = 4。
到此，我们借助点在平面直角坐标系中的坐标求出了两条线段的长度，它还能帮我们解决更复杂的问题吗？好，接下来我们顺次连接三个点A、B、C，可以得到一个什么样的图形呢？同学们看，我们得到了一个三角形ABC，并且观察图形可知线段AB与线段BC互相垂直，所以三角形ABC是一个直角三角形。那么，你会求这个直角三角形ABC的面积吗？
对于直角三角形，要求出它的面积，只要知道两条直角边的长度即可。刚才我们已经求出线段AB和线段BC的长度，接下来利用三角形的面积公式就能解决问题。因为线段AB的长度是3，线段BC的长度是4，且AB垂直于BC，所以三角形ABC的面积为1/2 × AB × BC = 1/2 × 3 × 4 = 6。
我们刚才利用点在平面直角坐标系中的坐标求出了线段的长度，又利用关键线段的长度求出了三角形的面积，这说明平面直角坐标系帮助我们把数与形联系在了一起。下面我们按照这个思路，看看同学们能不能解决以下问题。
例一，在平面直角坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点用线段依次连接起来，得到一个封闭图形，说出你得到的是什么图形，并计算它们的面积。
先看第一组点，A点坐标(4,0)，B点坐标(-2,0)，C点坐标(-4,-5)。如图所示，坐标系中已给出网格线，我们可直接利用网格线描出这三个点。A(4,0)在x轴上，这一点是点A；点B(-2,0)也在x轴负半轴；点C(-4,-5)，先找到横坐标 -4，纵坐标 -5，所以点C在第三象限。顺次连接点A、点B、点C，我们得到了一个三角形。
下面求这个三角形ABC的面积，这个三角形与刚才的直角三角形不同，它不是直角三角形。我们要先选择一条合适的边作为底，再求出这条边上的高，然后利用三角形面积公式求解。同学们想一想，选择哪条边作为底比较简单呢？对，我们选择线段AB作为这个三角形的底，因为点A与点B都在x轴上，纵坐标相等，为求AB的长度，只需把两个点的横坐标相减，即线段AB的长度是4 - (-2) = 6。
这条边上的高怎么求呢？图形上未给出，我们要过点C向AB所在直线作一条垂线，垂足为D，线段CD的长度就是点C到x轴的距离，同学们可看到线段CD的长度是5。现在我们就可以利用三角形面积公式求出三角形ABC的面积了，所以它的面积S△ABC = 1/2 × AB × CD = 1/2 × 6 × 5 = 15。
接下来看第二组点，给出了四个点。首先是点A(-1,2)，其次是点B(-2,-1)，第三个点是点C(2,-1)，第四个点是点D(3,2)。描出这四个点后，顺次连接起来，同学们看看得到了一个什么样的图形呢？对，我们得到了一个平行四边形。
下面求这个平行四边形的面积，大家还记得平行四边形的面积怎么求吗？没错，用底乘以高。我们把线段BC当作平行四边形的底，同学们看看线段BC的长度是多少呢？2 - (-2) = 4。
这条边上的高怎么解决呢？我们过点D向BC所在直线作一条垂线，垂足为E，线段DE的长度就是这个平行四边形的高，观察图像可知DE的长度等于3。现在我们就可以求出平行四边形ABCD的面积了，它的面积S平行四边形ABCD = BC × DE = 4 × 3 = 12。
刚才两个练习都是利用点在平面直角坐标系中的坐标求出相应线段的长度，再根据图形的面积公式求出这些图形的面积。那么反过来，如果给一些图形的相关信息，我们能不能建立平面直角坐标系来描述图形的位置呢？我们来试一试。为了更简单明了地说明问题，我们把平行四边形转化成正方形来研究。
如图是一个面积为16的正方形，当右下角顶点的坐标为(4,0)时，你能写出其余三点的坐标吗？我们先来分析，正方形面积为16，那么可求出正方形的边长为4。如果右下角顶点坐标是(4,0)，把这个正方形放在坐标系中，点B的坐标是(4,0)。由于线段AB的长即正方形边长为4，所以点A的坐标就应该是(0,0)。我们以顶点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系。
在这个坐标系中，我们就可以写出点A、点C和点D的坐标了。请同学们先写一写，点A的坐标是(0,0)，点C的坐标是(4,4)，点D的坐标是(0,4)。这个题目告诉我们，可以根据某一个点的坐标确定平面直角坐标系的建立，再根据平面直角坐标系写出其余各点的坐标。