师：同学你好，这节课我们一起学习命题与证明的第二课时——证明。通过本节课学习，希望你能有以下收获：一、了解定义、基本事实、定理、证明的意义，知道证明的必要性；二、初步学会简单的证明过程，能说出每一步推理的依据；三、探究简单的证明过程，知道证明要合乎逻辑。为了更好地完成本节课学习，请你打开课本，准备好笔和学习任务单。你都准备好了吗？那我们就一起进入本节课的学习吧。
上节课我们学习了命题，你还记得吗？让我们一起回顾一下：对某一事件做出正确或不正确判断的语句或式子，叫做命题。首先要做出判断，而判断有的正确，有的不正确。我们把正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。命题的一般形式是“如果p，那么q”，其中p是命题的条件，q是命题的结论。如果我们将命题的条件与结论互换位置，便得到一个新的命题“如果q，那么p”，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆命题。要想说明一个命题是假命题，我们只要举出一个反例就可以了。反例需要符合命题的条件，但不满足命题的结论。
好了，回顾完上节课的知识，下面我们通过一道题目来巩固一下。请思考，请判断下列命题是真命题还是假命题：1. 如果|a| = |b|，那么a = b；2. 相等的角是对顶角；3. 同位角相等，两直线平行；4. 内错角相等，两直线平行。
生：相信同学们已经有了自己的判断，1和2是假命题，3和4都是真命题。
师：既然1和2是假命题，我们该如何说明呢？
生：对，只需要举出一个反例就可以说明了。对于1，我们可以举例，当a = 3，b = -3时，符合了条件|a| = |b|，但是并不能得出结论a = b，这样就说明1是假命题。对于2，我们可以举例，比如画出一个角的角平分线后就可以得到∠1 = ∠2，显然这里的∠1和∠2不是对顶角，这样就可以判定2是假命题。
师：那3和4既然是真命题，要如何说明呢？其实3是我们在七年级学过的基本事实，基本事实其实是从长期的实践中总结出来，不需要推理证明的真命题，它的真实性已经在实践中得到了检验。而4，虽然我们都知道它是真命题，但它却不是基本事实，这就需要说明它的正确性了。其实4是我们数学中的定理。当然还有一些其他的真命题不是基本事实，那就都需要说明，那该如何说明呢？聪明的数学家为我们解决了这个问题，那就让我们先来了解一段数学史吧。
论证几何源于希腊数学家欧几里得的《原本》，这部著作可以说是数学史上第一座理论丰碑。它确立了数学中公理化的演绎范式，这种范式要求学科中每个真命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论，而所有推理的原始出发点是一些基本的定义和基本事实。
那么既然数学家告诉我们所有推理的原始出发点是一些基本定义和基本事实，下面我们先来认识一些定义和基本事实。所谓定义就是能明确界定某个对象含义的语句，例如我们学过的“由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形”，这是三角形的定义。再比如“有一个角是直角的三角形，叫做直角三角形”，这是直角三角形的定义。“在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线”，这是角平分线的定义。在定义中通常会有像“叫做”“称为”等这样的词语。在我们学习数学的过程中，接触到了许多的定义，有关于代数方面的，也有关于几何方面的，你还能举出一些你学过的定义吗？请你课下试着举出一些。
基本事实是我们从进入初中才接触到的一些知识，它是人们从长期的实践中总结出来，不需要推理证明的真命题，可以作为判断其他命题真假的原始依据，当然它的真实性在实践中需要被检验。那你能说一说，到目前为止你学过的基本事实吗？请你回忆一下。
生：其实到目前为止我们学过的基本事实有五条：两点确定一条直线；两点之间线段最短；过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线；过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；同位角相等，两直线平行。
师：前面四条有的是关于线段的基本事实，有的是关于直线的基本事实。大家最容易忽略的是第5条，其实它是关于角与平行线的一条。细心的同学可能注意到，在我们学习平行线判定时，只有这一条是作为基本事实存在的，并因此推理出了另外两条判定定理和性质定理。这些基本事实都是我们在学习的过程中通过实践检验的，随着学习的深入，后面还会学到更多的基本事实。
我们知道了定义和基本事实，就有了推理其他真命题的依据了。接下来，从基本事实或其他真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。从表述中大家可以发现，定理必须是真命题，并且需要依据基本事实或者其他真命题，用推理的方法判断为正确才可以。与此同时，当它被推理出正确性以后，我们还能把它作为判定其他命题真假的依据。你能试着说一说你已经学过的定理有哪些吗？
生：例如平行线判定定理，它们分别有内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。平行线的性质定理有三条，分别是两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。对顶角相等；三角形内角和定理，就是三角形内角和等于180度；同角（等角）的余角或补角相等。
师：这样我们就有了理论的依据，但是这还远远不够，有了这些理论依据之后，怎样说明命题的正确性呢？这就是我们接下来要说的什么是证明了。
从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则推导出结论，这一方法称为演绎推理或演绎法。演绎推理的过程叫做演绎证明，简称证明。我们把这个概念用一幅图来给大家演示一下。首先我们从已知出发，目标是得到结论的正确性，这里给我们提供理论支撑的是定义、基本事实或者是已经证明的定理。我们按照严密规范的逻辑推导出结论就可以了。这种方法叫做演绎推理，或者叫演绎法，而整个推理的过程叫做演绎证明。简单说就是证明。
了解了什么是证明，那证明的具体步骤是什么样的呢？下面就通过例题来说明证明的步骤吧。
请看例题，从基本事实出发，证明定理“内错角相等，两直线平行”。已知如图，直线c与直线a、b相交，且∠1 = ∠2。求证a∥b。已知条件中给出了∠1 = ∠2是一组相等的内错角。要想说明两直线平行，你会想到什么理论依据呢？
生：对，我们会想到一条基本事实，同位角相等，两直线平行。
师：那这时我们就需要在图中去寻找一组相等的同位角，你能找到吗？
生：很容易，无论是∠1还是∠2，我们都能找到相应的同位角。比如这里我们找了∠2的一个同位角∠3。